Пространство

Неравенства Гёльдера и Минковского для сумм.

Предел последовательности.

Рассмотрим в нормирован­ном пространстве последовательность элементов.

Определение 1. Элемент называется пределом последовательности, если при. Если есть предел, то будем писать

или при и говорить, что последовательность сходится к или просто сходится. Назовем окрестностью точки любой открытый шар.

Упражнение 1. Покажите, что если

то

1) в любой окрестности точки находятся все члены последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа;

2) предел единствен;

3) любая подпоследовательность последовательности сходится к;

4) если при, то при;

5) если, кроме того, при, то,.

6) Пользуясь неравенством (1) §1, доказать, что если,, то,.

Определение 2. Множество назовем ограниченным, если его можно заключить в некоторый шар. Точнее, ограничено, если существует такое число, что для всех выполняется неравенство.

Упражнение 2. Докажите, что всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Пример 1. Рассмотрим пространство (см. пример 2 §1). Какова будет сходимость в?

Пусть и при. Тогда

значит,. Это означает, что каждая координата вектора сходится к соответствующей координате вектора. Можно поэтому сказать, что сходимость в — покоординатная.

Пример 2. Рассмотрим пространство (см. пример 1 §1). Пусть при. Это означает, что при

Поскольку для любого

то из (1) следует, что

Согласно предыдущему примеру это означает, что сходимость в — также покоординатная.

В этом пункте мы доказываем два важных вспомогательных неравен­ства.

Пусть числа и связаны соотношением. Рассмотрим на полуоси функцию

Упражнение. Докажите с помощью дифференциального исчисления, что — единственная точка минимума функции на и что, таким образом, справедливо неравенство

Положим в (1), и получим следующее нервенство:

Исходя из неравенства (2), мы докажем неравенство Гёльдера для сумм. Для любых комплексных чисел; справедливо следующее неравенство Гёльдера:

Для доказательства введем обозначения

Допустим, что оба эти выражения отличны от нуля (если это не так, то (3) очевидно).

Полагая в (2) получим

Суммируя по от до, имеем

Следовательно, справедливо неравенство Гёльдера

Докажем теперь неравенство Минковского

Прежде всего заметим, что

К каждой из сумм в правой части неравенства применим неравенство Гёльдера:

ибо. Точно так же

Складывая два последних неравенства, получим

Будем считать, что (если эта сумма равна нулю, то неравенство Минковского (4) очевидно). Деля неравенство (5) на и вспоминая, что получаем искомое неравенство (4).

Пусть.Превратим в нормированное пространство, которое мы будем обозначать, вводя в нем норму по следующей формуле:

Проверка аксиом 1) и 2) нормы здесь очевидна.

Аксиома треугольника представляет собою доказанное в §3 при неравенство Минковского.

Упражнение 1. Докажите неравенство треугольника в. Заметим, что при (см. пример 1 §1), т.е. представляет собою евклидово пространство.

Какова сходимость в? Здесь можно провести рассуждение по образцу примера 2 §2.

Пусть - норма кубическая.

Упражнение 2. Докажите следующее неравенство:

Из правой части этой оценки следует, что если и если,, в, то,, и в, ибо

Обратно, если,, в то вследствие неравенства мы имеем,, в.

Таким образом, сходящиеся последовательности в и совпадают и сходимость в, как и в, есть сходимость покоординатная.

Дата добавления: 2014-01-07