Определение нормированного пространства

Определение 1. Линейное пространство называется нормированным пространством, если каждому поставлено в соответствие неотрицательное число (норма) так, что выполнены следующие три аксиомы:

1) в том и только в том случае, когда

2);

3).

Таким образом, норма — это определенная всюду на функция с неотрицательными значениями и со свойствами 1)—3). Заметим, что аксиома 1) называется условием невырожденности нормы, аксиома 2)— условием однородности нормы, а аксиома 3)— неравенством треугольника. В случае векторов аксиома 3) означает, что длина стороны в треугольнике не пре­вышает суммы длин двух других его сторон. Как следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы имеет вид

Докажем это неравенство. По неравенству треугольника имеем

откуда; меняя ролями и, получим

Оба последних неравенства в совокупности дают неравенство (1).

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле

Упражнение 1. Показать, что расстояние удовлетворяет следующим трем свойствам:

a) тогда и только тогда, когда;

b);

c)

Определение 2. Множество называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов и поставлено в соответствие вещественное число, удовлетворяющее аксиомам a), b), c). Таким образом, метрические пространства можно считать обобщениями нормированных пространств.

Рассмотрим в нормированном пространстве множество, где — фиксированная точка, а. Множество называется открытым шаром с центром в, радиуса. Аналогично, множество

называется замкнутым шаром (с центром в, радиуса ). Множество

называется сферой. Очевидно,

Упражнение 2. Покажите, что является выпуклым функционалом в и, следовательно, согласно §10 лекции №1, шары и выпуклы. Будет ли выпуклым множеством в?

Далее будет приведено много примеров нормированных пространств. Пока же мы ограничимся простейшими примерами.

Пример 1. В вещественном линейном пространстве -мерных столбцов введем норму

Аксиомы нормы 1) и 2) выполняются тривиально. Неравенство треугольника (аксиома 3)), известное из курса линейной алгебры, будет доказано позже в более общем случае.

Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается.

Упражнение 3. Как выглядят, и в.

Пример 2. Пространство. Введем в норму

Проверим аксиомы нормы

1) ‑ это очевидно. Пусть, т.е.; но тогда все и.

2), откуда вытекает однородность нормы.

3), т.е.. Переходя в этом неравенстве слева к по, получим неравенство треугольника.

Упражнение 4. Как выглядят в, и при

Замечание. Множество в называют обычно ‑ мерным кубом. Это оправдывает обозначение для нормы ‑ “норма кубическая”. Множество в называют – мерным шаром (‑ “норма сферическая”).

Дата добавления: 2014-01-07