Лекция 11. Математические основы планирования эксперимента

Математические основы планирования эксперимента.

Основой традиционных методов исследования является однофакторный эксперимент, когда изучаются зависимости при изменении значений одного фактора при постоянстве остальных. Например, прочность асфальтобетона зависит от многих факторов, главными из которых являются количество битума, вязкость битума, количество минерального порошка, количество щебня, величина угла внутреннего трения и др. Но не всегда корректно допустить возможность стабилизации всех переменных при последовательном выделении каждой из них в целях изучения объекта с достаточной степенью точности. К тому же это очень трудоёмкая работа.

Методы математического планирования позволяют одновременно изучать влияние ряда факторов на исследуемый объект, позволяют оптимально управлять экспериментом при полном знании механизма явлений. Тем более, что во многих случаях, приступая к исследованию, мы не знаем механизма изучаемого явления.

Мы можем только выделить определяющие условия и требования к результатам.

Преимущества математического планирования эксперимента.

1. Сокращение объёма и удешевление стоимости эксперимента (в 2-10 раз).

2. Создание математической модели процесса или объекта.

3. Оптимизация и контроль за ходом технологических процессов.

4. Подбор многокомпонентных составов новых материалов.

Построение эксперимента отличается большой логикой, рандолизируется постановка опытов, создаётся возможность проведения регрессионного, корреляционного и дисперсионного анализов.

Наиболее широко используются планы экспериментального эксперимента.

План экспериментального эксперимента.

Приведём основные понятия.

Обозначим факторы как Z₁, Z₂, Z_3…Z_n; функция – Y.

Имеем непрерывную функцию Y=f(Z₁, Z₂, Z_3…Z_n)/

Например, прочность асфальтобетона R в зависимости от количества битума, минерального порошка, щебня и т.д.

Эту функцию можно разложить в ряд Тэйлора:

Y=b₀+b₁Z₁+b₂Z₂+…+b_nZ_n+b₁₂Z₁Z₂…+b_n-1,n Z_n-1Z_n+b₁₁Z₁²+b₂₂Z₂²+…+b_nnZ_n²

Этот полином аналогичен уравнению регрессии:

Y=a₀+a₁x₁+а₂х₂+…+а_nх_n+a₁₂x₁x₂+…+a_n-1,nx_n-1x_n+a₁₁x₁²+a₂₂x₂²+…+a_nnx_n²,

где a₀, a_i, a_ij, a_ii – коэффициенты регрессии;

x_i – кодированная переменная, введённая в целях упрощения арифметических расчётов.

Z_{i max}, Z_{i min} – наибольшее и наименьшее значение факторов Z_i;

Z_0i- средний (нулевой)уровень факторов;

DZ_i – интервал варьирования.

Началом планирования является сбор, изучение и анализ имеющихся данных об объекте. В результате этого определяют выходной параметр Y и входные – Z_i. Выходной параметр Y должен иметь количественную характеристику. Входные параметры Z_iдолжны иметь границы изменения (Z_{i max}-Z_{i min}). Выбранные факторы варьируют на двух уровнях (верхнем и нижнем) и на трёх (верхнем, нулевом, нижнем).

Последовательность планирования.

1. Выбирают из n действующих факторов наиболее значимые Z₁, Z₂, Z_3…Z_n.

2. Устанавливают пределы изменений выбранных факторов Z_{i min}, Z_{i max}, вычисляют Z_0i и DZ_i, заменяют переменные Z_i на кодированные x_i.

3. Определяют комбинации факторов Z_i, при которых будет изучаться заданная система.

4. Разрабатывают методики измерения выбранных факторов, определяют погрешности и число повторений в каждом опыте.

5. Проводят эксперимент, одновременно корректируют его с учётом полученных данных.

6. Определяют уравнения регрессии, проверяют его адекватность, анализируют и делают соответствующие выводы.

Дата добавления: 2014-01-07