Предел функции нескольких переменных

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется δ-окрестностью точки М₀ (х₀;у₀). Другими словами, δ - окрестность точки М₀ - это все внутренние точки круга с центром М₀ и радиусом δ (см. рис.2).

Пусть функция u=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀;у₀), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции u=f(x;y) при х → x₀ и у → y ₀ (или, что то же самое, при М(х;у) → М₀(х₀;у₀)), если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех х ≠ х₀ и у ≠ у₀ и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство < ε. Записывают: или

Из данного определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М₀ (число таких направлений бесконечно; для функции же одной переменной х → х₀ только по двум направлениям: слева и справа!)

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число ε > 0, найдется δ-окрестность точки M ₀(x ₀; y ₀), что во всех ее точках М(х;у), отличных от М ₀, аппликаты соответствующих точек поверхности u=f(x;y) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на ε.

Дата добавления: 2014-01-07