Цифровые фильтры

3.1 Цифровая система обработки сигналов.

Обработка дискретных сигналов осуществляется как правило в цифровой форме: каждому отсчёту ставится в соответствие двоичное кодовое слово и, в результате, действия над отсчётами заменяются на действия над кодовыми словами. Таким образом дискретная цепь становится цифровой цепью, цифровым фильтром (ЦФ). Перевод отсчётов в двоичные кодовые слова происходит в аналогово-цифровом преобразователе (АЦП). На выходе ЦФ (рис.3.1) осуществляется обратная операция: кодовые слова в цифро-аналоговом преобразователе превращаются в отсчёты дискретного сигнала и, наконец, на выходе, синтезирующего фильтра (СФ) формируется обработанный аналоговый сигнал.

Дискретная и цифровая цепи описываются одинаковыми уравнениями. Отличие состоит в приближённом характере представления отсчётов сигнала кодовыми словами конечной размерности (ошибки квантования). Поэтому сигнал на выходе цифровой цепи отличается от идеального варианта на величину погрешности квантования.

Цифровая техника позволяет получить высокое качество обработки сигналов несмотря на ошибки квантования: ошибки (шумы) квантования можно привести в норму увеличением разрядности кодовых слов. Рациональные способы конструирования цифровой цепи также способствуют минимизации уровня шумов квантования.

Расчёт цифровой цепи по заданным требованиям к её характеристикам имеет ряд принципиальных особенностей в зависимости от наличия обратной связи. Эти особенности являются следствием конечной длины импульсного отклика нерекурсивного ЦФ.

Поэтому нерекурсивные фильтры содержат большое число элементов цепи, но вместе с тем имеют целый ряд важных достоинств: нерекурсивные ЦФ всегда устойчивы, позволяют строить фильтры с минимальной линейной фазой, отличаются простой настройкой. С учётом изложенного становятся понятны причины, по которым методы расчёта нерекурсивных ЦФ и рекурсивных цифровых фильтров принято рассматривать отдельно.

4. Эффекты конечной разрядности и их учет.

4.1. Шум квантования и шумовая модель.

Отсчеты сигнала на входе цифровой системы квантуются к ближайшему из разрешенных уровней. Расстояния между смежными уровнями равно шагу квантования D. Шаг квантования и разрядность кодовых слов связаны соотношением

D = 2^-b (4.1)

где b - разрядность кодовых слов.

Значение младшего разряда кодовых слов численно равно шагу квантования.

Разность истинного и квантованного числа называется ошибкой квантования. Ошибка квантования е(n) определяется неравенствами:

- при округлении чисел,

- при усечении чисел. (4.2)

На выходе цифровой системы ошибки квантования воспринимаются в виде шума, который называется шумом квантования.

Цифровые умножители наравне с АЦП являются источниками шума квантования; на выходе умножителей длину кодовых слов приходится ограничивать, т.к. разрядность результата перемножения кодовых слов возрастает и равна сумме разрядностей множимого и множителя.

Расчет уровня шума квантования осуществляется по шумовой модели, которая отличается от исходной цепи наличием источников шума квантования на выходе АЦП и каждого из умножителей.

На Рис. 4.1, а приведена в качестве примера шумовая модель цифровой цепи, схема которой показана на Рис. 4.1, б. Обозначения для источников шума:

e₀(n) - источник шума от АЦП

e_i(n) - источник шума от каждого из Z множителей.

4.2. Расчет шумов квантования

Уровень шума квантования можно оценить, например, по величине максимума шума, т.е. оценка шума по условию наихудшего случая, или по величине усредненной энергии шума, т.е. вероятностная оценка шума.

4.2.1. Расчет максимума шума

Шум квантования на выходе цепи от i-го источника шума определяется по формуле свертки

где e_i(n) - шум на выходе i-го источника шума,

h_i (n) - импульсная характеристика участка цепи от i-го источника шума до выхода цепи.

Максимум шума Е_i получается в этом выражении при условии выполнения равенств в формулах (4.2) и совпадении знаков e_i (k) и h_i (n-k). В результате

- при округлении чисел,

- при усечении чисел.

Максимум шума на выходе цепи Е от всех источников шума определяется суммой максимумов, т.е. наихудший случай, от всех источников шума

(4.3)

где D₀/2 - максимум шума на выходе АЦП при округлении чисел,

D/2 - максимум шума на выходе каждого из Z умножителей при округлении чисел или условии одинаковой разрядности всех умножителей.

Оценка шума по максимуму приводит к значительному превышению расчетного уровня шума по отношению к реальному. Поэтому чаще применяется вероятностная оценка шума.

4.2.2. Расчет усредненной энергии шума.

Шум квантования имеет характер случайной последовательности типа "белый шум". Поэтому дисперсия шума на выходе цепи согласно (2.24), (2.25) определяется формулой

,

где - дисперсия шума на выходе i-го источника шума. Учитывая характер шума, дисперсия шума на выходе источника будет определяться известными формулами:

- при округлении чисел

- при усечении чисел (4.4)

Следовательно, при округлении чисел

Дисперсия шума от всех источников на выходе цепи, при условии отсутствия корреляции между источниками шума, определяется суммой дисперсий шума от всех источников

(4.5)

где - дисперсия шума на выходе АЦП при округлении чисел.

- дисперсия шума на выходе каждого из Z множителей при округлении чисел.

Вероятностная оценка шума характеризует усредненный уровень энергии шума, поэтому в реальных условиях не исключены кратковременные скачки помехи относительно расчетного значения.

4.3. Квантование коэффициентов. Расчет разрядности.

Габариты, вес и стоимость специализированного процессора, предназначенного для обработки сигналов, тем меньше, чем короче кодовые слова и, в частности, кодовые слова, соответствующие коэффициентам цифровой цепи. Кодовые слова коэффициентов имеют, в общем случае, бесконечную разрядность, поэтому разрядность приходится ограничивать в пределах допусков на отклонение от нормы системных характеристик.

Спецпроцессор функционирует в системе чисел с фиксированной запятой. В этом случае дробная часть кодовых слов определяет модуль числа, целая часть - знак числа: знаку плюс соответствует нуль, знаку минус - единица. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную удобно выполнить в форме таблицы, в которой первая клетка отводится исходному числу, остальные клетки - результату перемножения на два дробной части предыдущего числа. Целая часть числа в основных клетках определяет дробную часть двоичного числа.

Пример. Дано десятичное число А₍₁₀₎ = 0,32.

Определить прямой код двоичного числа А₍₂₎, если разрядность двоичного числа принять равной 8.

Решение

Заполним таблицу промежуточных расчетов.

0,32

0,64

1,28

0,56

1,12

0,24

0,48

0,96

1,92

1,84

Отсюда двоичное число А₍₂₎ = 0,010100011

Последний - девятый - разряд необходим для округления.

Окончательный результат:

А₍₂₎ = 0,01010010 - после округления;

А₍₂₎ = 0,01010001 - после усечения.

Оценим погрешность полученных чисел конечной разрядности.

При округлении

А₍₁₀₎ 0*2^-1 + 0*2^-3 + 1*2^-4 + 0*2^-5 + 0*2^-6 + 1*2^-7 + 0*2^-8 = 0,3203125

Отсюда, относительная погрешность представления исходного числа кодовым словом конечной разрядности равной 8 составляет d» 0,1 %

При усечении

А₍₁₀₎ 0*2^-1 + 0*2^-3 + 1*2^-4 + 0*2^-5 + 0*2^-6 + 0*2^-7 + 1*2^-8 = 0,31640625

что соответствует d» 1,15 %

Существуют различные способы расчета разрядности коэффициентов по допускам на системные характеристики. Самый простой способ - метод проб.

Расчет по методу проб начинается с выбора разрядности коэффициентов ориентировочно, субъективно. Затем следует расчет системных характеристик с новыми - приближенными - значениями коэффициентов, оценка искажений характеристик и соответствующая коррекция разрядности коэффициентов в ту или иную сторону. Расчет повторяется столько раз, сколько потребуется для удовлетворительного решения задачи по выбору разрядности коэффициентов.

4.6. Масштабирование сигнала в цепи.

Уровень шума квантования на выходе источника шума не зависит от уровня сигнала: уровень шума определяется величиной шага квантования. Поэтому соотношение сигнал/шум тем выше, чем выше уровень сигнала в цепи. Но высокие уровни сигнала могут привести к переполнению сумматоров цепи, т.е. к выходу числа за пределы разрядной сетки слева в регистре сумматора, на котором вырабатывается сумма. В системе чисел с фиксированной запятой таким пределом называется единица.

Переполнение сумматора равносильно ограничению сигнала сверху пороговым нелинейным элементом в аналоговой цепи.

Поэтому возникает необходимость в масштабировании сигнала с таким расчетом, чтобы получить высокие уровни сигнала в цепи с минимальным риском перегрузки сумматоров. Масштабирование осуществляется специальным умножителем, который устанавливается на входе цепи. На рис. 4.3. приведен пример цепи с масштабным умножителем.

Расчет множителя l выполняется по каждому сумматору отдельно. Из множества расчетных значений l необходимо выбрать наименьшее, т.е. l того сумматора, который наиболее подвержен опасности переполнения.

Расчетные значения l рекомендуется округлить в меньшую сторону до ближайшего числа кратного степени 2: операцию умножения на число кратное степени 2 можно выполнить простым сдвигом числа в числовом регистре, что практически не требует затрат времени и оборудования на умножение поступающих кодовых слов.

4.7. Предельные циклы.

Предельными циклами называется ложный сигнал, который возникает на выходе рекурсивного ЦФ, если на вход цепи поступает сигнал в виде константы. Причиной появления предельных циклов является процедура квантования сигнала в умножителях, охваченных обратной связью.

Пример. Определить форму предельных циклов заданной цепи (рис. 4.4), если сигнал на выходе умножителя округляется на уровне десятых долей, а сигнал на входе в момент t=0 прерывается, т.е. наступает пауза. Состояние цепи к моменту t=0 характеризуется условием: y(-1) = 0,5.

Решение.

Разностное уравнение цепи: y(n) = x(n) + 0,8y(n-1)

Решение разностного уравнения.

n=0: y(0) = 0 + 0,8 * 0,5 = 0,4

n=1: y(1) = 0 + 0,8 * 0,4 = 0,32» 0,3

n=2: y(2) = 0 + 0,8 * 0,3 = 0,24» 0,2

n=3: y(3) = 0 + 0,8 * 0,2 = 0,16» 0,2

n=4: y(4) = 0 + 0,8 * 0,2 = 0,16» 0,2

............................................................

Следовательно y(n) = {0,4; 0,3; 0,2; 0,2; 0,2;... }, т.е. сигнал "зависает" на уровне 0,2. Если знак коэффициента 0,8 заменить на противоположный, то форма предельных циклов принимает вид знакопеременной последовательности y(n) = {-0,4; 0,3; -0,2; 0,2; -0,2;... }.

В цепях высокого порядка предельные циклы имеют сложную форму и определяются, при необходимости, моделированием фильтра на ЭВМ.

Ложные сигналы в системах передачи информации не допустимы, поэтому применяются различные способы борьбы с предельными циклами. Можно, например, подмешивать к сигналу на входе цепи псевдослучайную последовательность нулей и единиц на уровне младшего разряда кодовых слов. Но в этом случае необходимо увеличить на единицу разрядность кодовых слов, чтобы помехозащищенность сигнала оставить на прежнем уровне.

5. Восстановление непрерывного сигнала.

Последовательность кодовых слов на выходе цифрового фильтра необходимо преобразовать в аналоговый сигнал. Преобразование осуществляется с помощью двух устройств: ЦАП и ФНЧ. В ЦАП происходит преобразование каждого кодового слова в узкий импульс, амплитуда которого соответствует значению кодового слова. В ФНЧ происходит выделение той части спектра, которая соответствует спектру аналогового сигнала.

5.1. Характеристики ЦАП.

Цап преобразует отсчеты сигнала в виде кодовых слов в отсчеты сигнала в виде импульсов. Преобразование происходит с постоянным коэффициентом преобразования, не зависящим от величины отсчета. Следовательно ЦАП является линейной системой, импульсная характеристика которой совпадает с формой импульсов на выходе ЦАП. Поэтому сигнал на выходе ЦАП можно определить по формуле свертки аналоговых сигналов

y_цап(t) = y(t) Е h_цап(t) (5.1)

где y(t)=y(nT) - дискретный сигнал на входе ЦАП,

h_цап(t) - импульсная характеристика ЦАП.

На рис. 5.1, а,в показана форма сигналов на входе и выходе ЦАП на примере импульсной характеристики в форме прямоугольного импульса длительностью t (Рис. 5.1, б)

В частотной области свертке (5.1) соответствует произведение спектров

Y_цап (jw) = Y (jw) * H_цап (jw) (5.2)

где, согласно (1.3),

Y (jw) =

Y_а(jw) - спектр аналогового сигнала, подлежащего восстановлению,

H_цап(jw) - передаточная функция ЦАП.

Множитель Т^-1 в формуле Y (jw) принято относить к передаточной функции ЦАП, поэтому передаточная функция ЦАП для случая, соответствующего импульсу на Рис. 5.1, б, запишется так

H_цап(jw) = (5.3)

Отсюда, если t << Т, получаем

H_цап(jw)» t / Т (5.4)

что подтверждается известным фактом спектральной теории: спектр короткого импульса равен его площади и не зависит от формы импульса.

5.2. Погрешности восстановления.

Аналоговый сигнал y_a(t) обращается на выходе ФНЧ, который выделяет спектр частот [0; 0,5w_д], соответствующий спектру Y_а(jw).

Y_а(jw) = Y (jw) * H_цап (jw) * H_фнч (jw) (5.5)

Неравномерность реальных частотных характеристик ЦАП и ФНЧ приводит к искажениям восстанавливаемого непрерывного сигнала. На рис. 5.2 показаны характерные особенности реальных АЧХ восстанавливающих устройств.

Искажения ЦАП обусловлены наклоном АЧХ. На Рис. 5.2 АЧХ соответствует импульсной характеристике в форме прямоугольного импульса длительностью t. Но с уменьшением t, согласно (5.3) и (5.4), падает усиление ЦАП, что приводит к малым уровням сигнала и, соответственно, к низкой помехозащищенности сигнала по отношению к собственным помехам системы.

Искажения ФНЧ увеличиваются по мере приближения к частоте среза ФНЧ w_с = 0,5w_д. Поэтому рабочую полосу частот сигнала Y (jw) целесообразно размещать на неискаженном участке полосы пропускания ФНЧ, что можно сделать увеличением тактовой частоты w_д цифрового фильтра. Таким образом, если имеется возможность увеличить тактовую частоту, то в качестве ФНЧ можно использовать простую цепочку RC. В противном случае качественные показатели восстанавливающего устройства приходится улучшать усложнением схемы ФНЧ. Наконец, погрешности восстановления можно скомпенсировать, если создавать соответствующие предыскажения в ЦФ. В этом случае нормы на проектируемый ЦФ необходимо поправить в расчете на реальные характеристики ЦАП и ФНЧ.

Дата добавления: 2014-01-07