Распределение внутренней энергии молекул. Колебательная релаксация

Классическая теория теплоемкости основана на предположении, что к атомно-молекулярным системам применимы законы классической механики Ньютона. Для классических систем справедлива теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы.

В соответствии с определением показателя адиабаты C_P/С_V = γ из закона Роберта Майера:

C_P - С_V = R (1)

Поэтому справедливы соотношения:

С_V = R/ (γ – 1) (2)

C_P = R γ / (γ-1) (3)

Внутренняя энергия газа состоит из кинетической энергии поступательного и вращательного движения молекул, а также из энергии внутреннего движения молекул и атомов.

Теплоемкость одноатомных газов рассчитывается в предположении, что молекула совершает только поступательное движение и имеет три степени свободы, на каждую из которых приходится энергия 3/2kT. Для внутренней энергии одного моля газа получаем с учетом Na – числа Авогадро:

E = Na · 3/2kT = 3/2RT (4)

С_V = (¶E/¶T)_V = 3/2R ≈ 3 кал/(К·моль) (5)

C_P = С_V + R = 5/2R ≈ 5 кал/(К·моль) (6)

Показатель адиабаты составит:

γ = C_P/С_V = 5/3 = 1,67 (7)

Теплоемкость двухатомных газов рассчитывается в предположении, что молекула напоминает гантель и имеет пять независимых степеней свободы. Для внутренней энергии одного моля газа получаем:

U = Na · 5/2kT = 5/2RT (8)

С_V = (¶E/¶T)_V = 5/2R ≈ 5 кал/(К·моль) (9)

C_P = С_V + R = 7/2R ≈ 7 кал/(К·моль) (10)

Показатель адиабаты составит:

γ = C_P/С_V = 7/5 = 1,4 (11)

Теплоемкость многоатомных газов рассчитывается в предположении, что молекула имеет шесть независимых степеней свободы- три поступательные и три вращательные. Для внутренней энергии одного моля газа получаем:

U = N · 3kT = 3RT (12)

С_V = (¶U/¶T)_V = 3R ≈ 6 кал/(К·моль) (13)

C_P = С_V + R = 4R ≈ 8 кал/(К·моль) (14)

Показатель адиабаты составит:

γ = C_P/С_V = 8/6 = 1,33 (15)

Классическая теория теплоемкостей не учитывает колебательные степени свободы, которые имеют место в реальных процессах в камерах сгорания двигателей. В диапазоне температур, характерных для современных ракетных двигателей, могут иметь место поступательное и вращательное движение газовых молекул и колебательное движение атомов относительно их нейтрального положения в двухатомных и многоатомных молекулах. Известно, что теплоемкости, соответствующие поступательному и вращательному движениям молекул, начиная с некоторой температуры - температуры насыщения, перестают зависеть от температуры и остаются величинами постоянными. Так как значения температуры насыщения поступательных и вращательных степеней свободы молекул очень низки, то в процессах горения и истечения теплоемкости этих степенней свободы постоянны.

Значения температуры насыщения для теплоемкости колебательного движения атомов для всех молекул очень высоки. До тех пор пока не достигнута температура насыщения, эти составляющие теплоемкости изменяются, увеличиваясь с ростом температуры. Поэтому при рассмотрении процессов внутри камеры сгорания и внутри сверхзвуковой части сопла для больших жидкостных ракетных двигателей необходимо учитывать вклад колебательных степеней свободы в теплоемкость, так как время существования в камере сгорания составляет тысячные доли секунды, а время релаксации колебательных степеней свободы на порядок ниже. В процессах, происходящих в сверхзвуковой части сопла и в струе, расширяющейся в пространстве за срезом сопла, температура газа резко уменьшается. Совершенно определенно можно считать, что в силу относительно малой плотности струи и малого времени пребывания газа в сверхзвуковой части сопла (порядка одной десятитысячной секунды) число столкновений между молекулами, в результате которых и происходит возбуждение колебательных степеней свободы, невелико. Его недостаточно, чтобы установилось равновесие между температурой газа и энергией колебательного движения. Получается, что внутренняя энергия молекул, соответствующая поступательному и вращательному движению, успевает уменьшаться вследствие расширения газа после критического сечения, и сохраняется Максвелловское распределение скоростей поступательного и вращательного движения в зависимости от температуры. Что же касается температуры (или внутренней энергии), соответствующей колебательным движениям молекул, то как запасли молекулы колебательную энергию в камере сгорания, так и сохраняют ее далее, несмотря на охлаждение расширяющегося газа в сверхзвуковой части струи. Причиной этому является недостаточное число столкновений молекул между собой вследствие постоянного падения плотности в струе после выхода ее из сопла.

Поскольку различным степеням свободы соответствует различная температура (или энергия), течение газа будет существенно неравновесным. Нельзя пользоваться единым значением теплоемкости и показателя адиабаты для газовой струи, что очень затрудняет расчеты параметров в струе и тепловых потоков от струи к конструкции. В результате экспериментальных исследований была получено, что для течений с фиксированной температурой торможения Т₀ параметром подобия для расчета колебательной температуры является комплекс р₀d_кр [8]. На рисунке 5.1.1 приведены значения колебательной температуры Т_V и поступательной температуры T_t для течения с фиксированной температурой торможения Т₀ = 2000 К и р₀d_кр = (10^-1 …10³) Мпа·мм и для р₀d_кр = ∞, что соответствует равновесному течению. Видно, что при каждом р₀d_кр на некотором расстоянии за срезом сопла течение остается близким к равновесному: колебательная температура совпадает с равновесной. Далее в некоторой области течение отклоняется от равновесного и становится замороженным. Переход от равновесного замороженному происходит тем более резко, чем меньше р₀d_кр. Эта картина является типичной для расширяющегося течения релаксирующего газа. Замораживание колебательной температуры приводит к более быстрому падению поступательной. Рассмотренный на рисунке 5.1.1 [8] диапазон значений параметра р₀d_кр охватывает широкий класс ракетных двигателей:

- значениям р₀d_кр от бесконечности до 10³ Мпа·мм соответствуют маршевые двигатели I и II ступеней,

- значениям р₀d_кр от 10³ Мпа·мм до 10¹ Мпа·мм соответствуют маршевые двигатели III ступеней, и разгонных блоков

- значениям р₀d_кр от 10^-1 Мпа·мм до 10¹ Мпа·мм соответствуют двигатели коррекции и стабилизации разгонных блоков и космических аппаратов.

Рис. 5.1. Распределение колебательной температуры Т_кол и поступательной температуры Т_пост вдоль оси струи при различных значениях комплекса Р₀d_кр

Дата добавления: 2014-01-07