Сигналы, сообщения, системы связи

Любая система связи является системой передачи, в которой объектом передачи являются сообщения. Всякое сообщение есть совокупность сведений о состоянии какой-либо материальной системы, которые передаются человеком (устройством), наблюдающим эту систему, другому человеку (устройству), не имеющему возможности получить эти сведения путем непосредственных наблюдений. Материальная система вместе с наблюдателем представляет собой источник сообщений (корреспондент).

Источник выдает сообщения из некоторого множества возможных сообщений. Это множество может быть конечным (например, буквенный текст) или бесконечным (например, телефонное сообщение). Каждая буква, например, принадлежит конечному множеству, образующему алфавит, а каждое слово – конечному множеству, образующему словарь. Множество сообщений совместно с их вероятностями появления (априорными вероятностями) называется ансамблем сообщений.

С математической точки зрения всякое сообщения можно представить в виде некоторой функции времени m(t), которая может быть как непрерывной функцией непрерывного времени (например, при передаче речи), так и последовательностью чисел (слов, букв), т.е. функцией дискретного времени.

Чтобы сообщение могло быть передано получателю, необходимо воспользоваться каким-либо переносчиком. В качестве переносчика можно использовать любой физический процесс, например, электрический ток в проводе (проводная связь), электромагнитное поле (радиосвязь), звуковые волны, световой луч и т.д.

Изменяющаяся физическая величина S(t), отображающая передаваемое сообщение m(t), называется сигналом. Очевидно, что каждому сообщению должен соответствовать свой сигнал, чтобы на приемной стороне по принятому сигналу можно было однозначно определить переданное сообщение.

Источник сообщений

передатчик

Линия связи

приемник

Получатель сообщений

Получатель сообщений

Источник сообщений

помехи

Рис. 1.1. Блок-схема системы связи

следующих операций: преобразования неэлектрической величины в электрическую, кодирования и модуляции. Первая операция необходима при передаче любых сообщений - дискретных и не­прерывных. Например, при передаче речи она состоит в преобра­зовании звукового давления в пропорционально изменяющийся электрический ток микрофона.

Дискретные сообщения представляют собой случайную по­следовательность некоторых элементов m1,m2,...mn. Эта

последовательность на передающей стороне может быть преоб­разована по определенному закону в другую последовательность

a1,a2,…,al,более удобную с технической точки зрения.

Операция преобразования последовательности {mn} последо­вательность {al} называется кодированием и осуществляется кодирующим устройством. Способы и цели кодирования могут быть различными.

Чаще всего кодирование состоит в дополнительном расчле­нении каждого элемента последовательности. При передаче письменного текста, например, каждой букве соответствует некоторая новая последовательность символов ai, называемая кодовой комбинацией. Если кодовая комбинация содержит N символов, каждый из которых принимает одно из m возможных значений, то число возможных комбинаций будет равно M = mn Число m называется основанием, а n - знатностью кода. Если m = 2, то код называется двоичным. При передаче дискретных сообщений в телеграфии широко исполь­зуется, например, пятизначный двоичный код (m=2, n=5). Этот кoд обеспечивает передачу сообщений с объемом алфавита M =25 =32 буквы. Каждая буква при этом передается после­довательностью из пяти токовых или бестоковых посылок ('нулей' и 'единиц'). Коды, в которых все кодовые комбинации содержат одинаковое число элементов, называются равномерны­ми. Иногда используются и неравномерные коды, каковым яв­ляется, например, код Морзе.

Выше говорилось о так называемом примитивном кодирова­нии, целью которого является упрощение используемой аппарату­ры. В последнее время начинает широко использоваться помехо­устойчивое кодирование, целью которого является повышение надежности работы систем связи при наличии помех.

При передаче непрерывных сообщений операция кодирова­ния часто отсутствует. Однако в последнее время начинают при­меняться различные виды импульсной модуляции. При этом в качестве первичного переносчика используется периодическая последовательность импульсов. В этом случае оказываются воз­можными дискретные способы передачи и кодирования непрерыв­ных сообщений.

Операции кодирования обычно осуществляются электриче­скими схемами. Различным последовательностям кодовых сим­волов будут соответствовать последовательности элементов первичных электрических сигналов U(t), которые называют немодулированными или видеосигналами.

Процесс преобразования сообщений в сигналы S(t)закан­чивается модуляцией некоторого переносчика. Модуляция заклю­чается в изменении какого-либо параметра переносчика f =f(a,b,...,t). Модулированный параметр (a) получает приращение, пропорцио­нальное модулирующему сигналу:

, (1.1.1)

где Δa - максимальное абсолютное приращение модулируемого параметра, а величина

представляет собой относительное изменение этого параметра и называется коэффициентом модуляции. При передаче дискретных сообщений моду­лируемый параметр принимает одно из нескольких возможных дискретных значений. В этом случае вместо термина "модуляция" часто используется термин "манипуляция". Число возможных ви­дов модуляции равно числу параметров переносчика. Например, в случае синусоидального переносчика возможны амплитудная, фазовая и частотная виды модуляции.

Операцию формирования сигнала кратко можно представить в виде

где f - нелинейная операция, включающая в себя операции ко­дирования и модуляции.

Сформированный таким образом сигнал с выхода передат­чика поступает в линию связи. Линией связи называется физиче­ская среда, используемая для передачи сигналов от передатчика к приемнику. Этой средой может быть физическая цепь (пара проводов, кабель в проводной связи) или область пространства, в котором распространяются электромагнитные волны (радио -связь в любом диапазоне частот, в том числе и оптическом).

В реальных линиях связи всегда присутствуют помехи различного происхождения. Взаимодействие сигнала и помехи можно представить в виде некоторой линейной или нелинейной операции

. (1.1.2)

Ha вход приемника поступает искаженный помехой сигнал x(t), по которому необходимо определить переданное сообщение. Следовательно, приемник должен осуществить операции, об­ратные операциям на передающей стороне: демодуляцию и деко­дирование. Демодуляцию принятого сигнала осуществляет демо­дулятор, который обрабатывает принятые сигналы по определен­ным правилам и производит опознавание переданных элементов сигнала (кодовых символов). Декодирующее устройство преобра­зует кодовые комбинации в элементы сообщения. В целом дейст­вие системы связи можно описать выражением:

y =W (x) = W {V [ξ,F(m,f)]}, (1.1.3)

где W - нелинейный оператор, включающий в себя операции демодуляции и декодирования.

Очевидно, что в идеальном случае принятое сообщение дол­жно точно соответствовать переданному, т.е. У(t)=m(t). Однако наличие помех в линии связи вызывает принципиальную неоднозначность при восстановлении сообщения на приемной стороне. Поэтому всегда y(t)≈m(t).

Введем еще некоторые определения. Совокупность технических средств, предназначенных для передачи сообщения от источника к получателю, называется кана­лом связи. В него входят передатчик, линия связи и приемник. Любой канал характеризуется тремя основными параметрами:

а) полосой частот которую может пропустить канал,

б) временем Т, в течение которого канал предоставлен

для работы,

в) допустимым диапазоном уровней сигнала в канале (динамический диапазон).

Канал связи вместе с источником и получателем сообщений образует систему связи. Системы связи друг от друга могут от­личаться типом передаваемых сообщений, методами преобразо­вания сообщений в сигналы и восстановления сообщений по при­нятым сигналам, физической средой, используемой в качестве линии связи, и т.д.

По типу передаваемых сообщений системы связи могут быть непрерывными и дискретными. Телеграфные системы связи яв­ляются типичным примером дискретных систем. Системы теле­фонии, радиотелефонии, телевидения при аналоговых (непрерыв­ных) способах модуляции относятся к непрерывным системам связи. В последнее время для передачи непрерывных сообщений используются системы с различными видами импульсной модуля­ции. Такие системы можно отнести к типу смешанных систем.

В дискретных системах связи при демодуляции и декоди­ровании сигналов необходимо знание длительности, начала и кон­ца каждого элемента комбинации и всей комбинации в целом, т.е. необходима синфазность работы передающего и приемного устройств. По способу поддержания синфазности дискретные системы связи можно разделить на синхронные и асинхронные. В синхронных системах связи передатчик и приемник работают синхронно, для чего используется специальный канал синхрониза­ции. Примером синхронных систем являются телеграфные систе­мы связи, использующие пятизначный двоичный код Бодо. При­мером асинхронных систем связи являются стартстопные систе­мы, в которых фазирование работы приемника и передатчика осу­ществляется специальными дополнительными элементами в на­чале (стартовый) и в конце (стоповый) каждой кодовой комбина­ции.

Если по системе связи передается несколько сообщений от различных источников, то она называется многоканальной.

Если по каналу связи сигналы могут передаваться только в одном направлении, то канал называется симплексным. Если же сигналы могут одновременно передаваться в обоих направлениях, то канал называется дуплексным. Дуплексные системы связи по сути дела имеют два канала (прямой и обратный), в общем слу­чае не идентичны. В некоторых случаях в таких системах передача сообщений осуществляется лишь в одном направлении, а обратный канал используется для контроля и защиты от ошибок при пе редаче сообщений в прямом направлении. Такие системы назы­ваются системами с обратной связью. Обратная связь позволя­ет значительно повысить надежность работы и используется в системах связи и автоматического управления. В последних сиг­нал обратного канала воздействует на некоторое устройство для подстройки его параметров.

§ 1.2. Характеристики сигналов связи

Как уже отмечалось выше, передаваемые сигналы одно­значно связаны с передаваемыми сообщениями. Математиче­ским описанием сигнала является некоторая функция времени S(t). Сигналы связи можно классифицировать по нескольким признакам.

В теории сообщений сигналы в первую очередь принято де­лить на детерминированные (регулярные) и случайные. Сигнал называется детерминированным, если он может быть описан из­вестной функцией времени. Следовательно, под детерминирован­ным понимается такой сигнал, который соответствует известно­му передаваемому сообщению и который можно точно предска­зать заранее за сколь угодно большой промежуток времени. Детерминированные сигналы принято подразделять на периодиче­ские, почти периодические и непериодические.

В реальных условиях сигнал в месте приема заранее неиз­вестен и не может быть описан определенной функцией времени. Принимаемые сигналы имеют непредсказуемый, случайный ха­рактер вследствие нескольких причин. Во-первых потому, что ре­гулярный сигнал не может нести информации.. Действительно, ес­ли бы о передаваемом сигнале было известно все, то его незачем было бы передавать. Обычно на приемной стороне известны лишь некоторые параметры сигнала. Во-вторых, сигналы имеют слу­чайный характер вследствие различного рода помех как внешних (космических, атмосферных, индустриальных и др.), так и внут­ренних (шумы ламп, сопротивлений и т.д.). Принимаемый сигнал искажается также вследствие прохождения через пинию связи, параметры которой часто являются случайной функцией времени.

Моделью сигнала связи является не одна функция времени S(t), а набор некоторых функций, представляющих собой слу­чайный процесс. Каждый конкретный сигнал является одной на реализаций случайного процесса, которую можно описать детер­минированной функцией времени. Часто ансамбль возможных со­общений (сигналов) получателю известен. Задача состоит в том, чтобы по принятой реализации смеси сигнала 6 помехами опре­делить, какое сообщение из заданного ансамбля было передано.

Таким образом, передаваемый сигнал необходимо рассма­тривать как множество функций, являющихся реализациями слу­чайного процесса. Статистические характеристики этого процес­са полностью описывают свойства сигнала. Однако решение мно­гих конкретных задач становится в этом случае затруднитель­ным. Поэтому изучение сигналов и их прохождение через разли­чные цепи целесообразно начинать с отдельных реализаций как детерминированных функций.

Полное описание сигнала не всегда необходимо. Иногда для анализа бывает достаточно нескольких обобщенных харак­теристик, наиболее полно отражающих свойства сигнала. Одной из важнейших характеристик сигнала является его длительност ь

Т, которая определяет необходимое время работы канала и просто связана с количеством сведений, передаваемых этим сиг­налом. Второй характеристикой является ширина спектра сигнала F, которая характеризует поведение сигнала на протяже­нии его длительности, скорость его изменения. В качестве треть­ей характеристики можно было бы ввести такую, которая опреде­ляла бы амплитуду сигнала на протяжении его существования, например, мощность. Однако мощность сигнала P сама по се­бе не определяет условия его передачи по реальным каналам свя­зи с помехами. Поэтому сигнал принято характеризовать отноше­нием мощностей сигнала и помехи:

,

которое называют превышением сигнала над помехой или отно­шением сигнал/шум.

Часто используется также характеристика сигнала, называ­емая динамическим диапазоном,

которая определяет интервал изменения уровней сигнала (например, громкости при передаче телефонных сообщений) и предъявляет соответствующие требования к линейности тракта. С этой же стороны сигнал можно охарактеризовать так называемым пикфактором

представляющим собой отношение максимального значения сигнала к действующему.

Чем больше пикфактор сигнала, тем хуже будут энергетические показатели радиотехнического устройства.

С точки зрения произведенных над сообщениями преобразо­ваний сигналы принято делить на видеосигналы (немодулированные) и радиосигналы (модулированные). Обычно спектр видео­сигнала сосредоточен в низкочастотной области. При использо­вании модуляции видеосигнал называют модулирующим. Спектр радиосигнала сосредоточен около некоторой средней частоты в области высоких частот. Радиосигналы могут передаваться в виде электромагнитных волн.

В заключение параграфа коротко охарактеризуем сигналы, используемые при различных видах связи. На рис. 1.2 показан ви­деосигнал в виде непрерывной импульсной последовательности. Такой сигнал формируется при телеграфных видах работы с ис­пользованием пятизначного двоичного кода. Ширина полосы ча­стот, используемая для передачи таких сигналов, зависит от ско­рости телеграфирования и равна, например, 150- 200 гц при ис­пользовании телеграфного аппарата СТ-35 и передаче 50 знаков в секунду. При передаче телефонных сообщений сигнал представляет

S(t)

S(t)

S(t)

t

t

S(t)

Рис. 1.2 - ви­деосигнал в виде непрерывной импульсной последовательности

Рис. 1.3 - передача неподвижных изображений с помощью фототелеграфа

собой непрерывную функцию времени, как это показано на рис. 1.26. В коммерческой телефонии сигнал обычно передается в полосе частот от ЗОО гц до 3400 гц. В вещании для качест­венной передачи речи и музыки требуется полоса частот пример­но от 40 гц до 10 кгц. При передаче неподвижных изображений с помощью фототелеграфа сигнал имеет вид, показанный на рис.1.З. Он представляет собой ступенчатую функцию. Число возможных уровней равно числу передаваемых тонов и полутонов. Для передачи используют один или несколько стандартных те­лефонных каналов. При передаче подвижных изображений в телевидении с использованием 625 строк разложения требуется полоса частот от 50 гц до 6 мгц. Сигнал при этом имеет слож­ную дискретно - непрерывную структуру. Модулированные сигна­лы имеют вид, показанный на рис.1.3 б (при амплитудной моду­ляции).

§ 1.3. Задачи и методы теории передачи сигналов

Как уже отмечалось выше, объектом передачи в системах связи являются сообщения, которые значительно отличаются от других объектов передачи, например, электрической энергии в системах электропередачи. В последних основная задача заклю­чается в передаче энергии потребителю с минимальными потеря­ми. Передача сообщений также сопровождается передачей энергии, но не в передаче энергии состоит основное назначение си­стемы связи. Энергетический коэффициент полезного действия систем связи (особенно радиосвязи) исчезающе мал. Очевидно, что для оценки эффективности систем связи нужны особые кри­терии. Одним из таких критериев может служить количество сведений, содержащихся в сообщении. Рассмотрим несколько при­меров.

В телеграфных системах связи сообщения представляют со­бой некоторый текст. Мерой количества сведений в этом случае может служить количество слов или букв. При передаче телефонных сообщений количество сведений будет определяться не толь­ко количеством слов, но и интонацией, тембром речи, диапазоном громкости звука. Аналогично, в телевизионном сообщении коли­чество сведений будет определяться степенью сложности изображения. Определить количество сведений в любом сообщении поз­воляет теория информации, которая составляет часть курса тео­рии передачи сигналов. Одной из характеристик системы связи является максимально возможное количество сведений, переда­ваемых (или принимаемых) в единицу времени. Определенная та­ким образом величина называется пропускной способностью системы связи.

При наличии помех передаваемые сообщения искажаются. Большой уровень помех может привести к невозможности приема

переданного сообщения. С этой точки зрения к системам связи предъявляется требование верности передачи или степени соот­ветствия принятого сигнала переданному. Последняя зависит, во-первых, от исправности аппаратуры, учет которой не являет­ся предметом изучения курса теории передачи сигналов, и во-вторых, от собственных свойств системы связи, определяемых способами передачи и приема сигналов. Способность системы связи противостоять вредному влиянию помех, обусловленная ее собственными свойствами, называется помехоустойчивостью системы связи. Помехоустойчивость систем связи является дру­гой важнейшей характеристикой системы связи. В качестве ко­личественной меры помехоустойчивости при передаче дискретных сообщений принято использовать вероятность ошибки, которая определяет относительное число неправильно принятых элементов сигнала. При передаче непрерывных сообщений помехоустойчи­вость оценивают величиной уклонения принятого сообщения от переданного. Величина уклонения определяется при этом по ка­кому-либо критерию, например среднеквадратичному:

,

где волнистая черта сверху означает усреднение по времени.

Таким образом, основные требования, предъявляемые к си­стемам связи, заключаются в повышении пропускной способности и помехоустойчивости. Эти требования противоречивы, так как можно повысить пропускную способность в ущерб помехоустой­чивости и наоборот. По-видимому, принципиально можно спроекти­ровать такую оптимальную систему связи, которая по некоторому критерию лучше других будет удовлетворять поставленным тре­бованиям.

Проектирование системы связи, обеспечивающей наиболь­шие пропускную способность и помехоустойчивость, требует уче­та многих факторов. В общей постановке задача состоит соглас­но (1.1.3) в выборе такого алгоритма (правила) работы системы Y=W{V[F(m,f),ξ]}, чтобы при максимальной пропускной способности получить вы­ходное сообщение, минимально отличающееся от переданного с точки зрения некоторого критерия. Синтез такой оптимальной системы требует совместного выбора системы сигналов (операций

кодирования и способа модуляции) и способов приема (демодуляции и декодирования). В таком общем виде данная задача еще не решена.

Поэтому для получения практических результатов данную задачу приходится расчленять и синтезировать систему по ча­стям при некоторых фиксированных параметрах. Например, при заданном произвольно способе приема можно выбрать оптималь­ную систему сигналов, т.е. способы кодирования и модуляции. При выбранной системе сигналов задача сводится к построению оптимального приемника. Искомым является оператор W.

При раздельном выборе операторов F и W необхо­димо руководствоваться следующими принципами. Во-первых, приемник должен наилучшим образом подавлять помехи, т.е.обеспечивать максимальную помехоустойчивость. Система сигналов должна выбираться такой, чтобы сигналы, отображающие раз­личные сообщения, как можно более отличались друг от друга, чтобы помехи как можно менее влияли на их различие. Таким спо­собом можно выбрать наилучшие коды, наиболее помехоустой­чивые виды модуляции, построить оптимальный приемник, т.е. получить оптимальные решения для отдельных звеньев системы связи. Такой способ позволяет синтезировать если не наилучшие теоретически, то, по крайней мере, хорошие и работоспособные системы связи.

Именно в таком направлении и развивалась общая или ста­тистическая теория связи. В 1941 г. советский математик А.Н.Кол­могоров разработал математические основы теории оптимальных по критерию минимума среднеквадратичной ошибки линейных це­пей (фильтров), развитой в дальнейшем Н.Винером. В 1947 г. В.А. Котельников заложил основы теории помехоустойчивости в своей выдающейся работе "Теория потенциальной помехоустойчи­вости". В этой работе впервые была поставлена и решена задача построения идеального приемника, который обеспечивает потен­циальную, т.е. максимально возможную помехоустойчивость. В 1949 г. американский ученый К.Шеннон положил начало теории информации. Он доказал возможность такого кодирования, кото­рое позволяет получить максимально возможную скорость переда­чи сообщений со сколь угодно малой вероятностью ошибочного приема всего сообщения.

Эти работы и положили начало новой науке - общей теории связи или общей теории информации. Теория информации возникла благодаря проникновению в теорию и технику связи точных мате­матических методов. В узком смысле слова теория информации занимается отысканием оптимальных способов кодирования. В

широком смысле слова теория информации - это теория, исполь­зующая вероятностные и статистические методы для анализа и синтеза систем связи и их элементов. Использование этих ме­тодов в качестве основного математического инструмента объя­сняется тем, что сигналы связи являются не регулярными, а слу­чайными процессами.

Теория вероятностей и теория случайных процессов являют­ся главным математическим инструментом при анализе прохождения сигналов и помех через системы связи и их элементы. Ме­тоды математической статистики, особенно теории статистиче­ских решений и теории оценок, являются основными при синтезе и сравнении систем связи, удовлетворяющих определенным кри­териям качества.

Как отмечалось выше, отдельные реализации сигнала мож­но описать детерминированными (регулярными) функциями вре­мени. Поэтому для первоначального исследования физических процессов в устройствах передачи и приема электрических сиг­налов используются также и классические методы, например, метод гармонического анализа (ряды и интеграл Фурье).

Ниже рассматриваются методы математического описания сигналов связи.

Раздел 2

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ

§ 2.1. Спектральное представление детерминированных

сигналов

Как отмечалось в главе 1, сигналы связи по своей природе являются случайными процессами. Однако, отдельные реализа­ции случайного процесса и некоторые специальные (например, испытательные) сигналы можно считать детерминированными функциями. Последние принято делить на периодические, почти периодические и непериодические, хотя строго периодических сигналов в реальных условиях не существует.

Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию

S(t)=S(t + KT) (2.1.1)

на интервале ≤ t ≤, где Т - постоянная величи­на, называемая периодом, а К - любое целое число.

Непериодическим называется сигнал, который не удовлет­воряет условию (2.1.1.) на всей оси времени. Он задается на ко­нечном (t1≤t≤ t2) или полубесконечном (t1≤t<∞) ин­тервале времени, а за пределами этого интервала принимается тождественно равным нулю. Непериодический сигнал можно рас­сматривать как периодический, но с бесконечно большим перио­дом. Одной из характеристик непериодического сигнала являет­ся его длительность, под которой понимают либо длительность, соответствующую всему сообщению или отрезку сообщения, ли­бо длительность отдельного элемента (например, элемента ко­довой комбинации).

Почти периодическим сигналом называется такой, для ко­торого период можно указать лишь приближенно. Такими сигна­лами являются, например, сигналы, которые могут быть предста­влены в виде суммы гармонических составляющих с произволь­ными (не кратными) частотами.

В теории сигналов широко используется спектральное пред­ставление сигналов. Спектральным представлением детермини­рованного сигнала S(T) называется его представление в виде суммы конечного или бесконечного числа гармонических состав­ляющих. Основой спектрального представления сигналов являет-

ся преобразование Фурье. Рассмотрим сначала спектральное представление модулирующих или видеосигналов.

Как известно из математики, любую периодическую функцию с периодом Т, удовлетворяющую условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье
, (2.1.2)
где а коэффициенты aK и bК определяются пo формулам

, (2.1.3)

.

Величина

(2.1.4)

определяет среднее значение сигнала за период и называется по­стоянной составляющей.

Частота называется основной частотой сигнала, а кратные ей частоты Fk = КF- высши­ми гармониками.

Выражение (2.1.2) можно переписать следующим образом

(2.1.5)

где

,
(2.1.6)

Обратные зависимости для коэффициентов и

, (2.1.7)

.

П ри форме записи (2.1.5) коэффициент Ск выражает амплитуду, а φк - фазу К-oй гармоники. Совокупность ко­эффициентов Ск носит название спектра амплитуд, а совокуп­ность значений φк - спектра фаз. На рис.2.1

C_k

C₅

Ω

C₄

C₂

C₁

C₆

C₃

2Ω

4Ω

3Ω

5Ω

w

6Ω

Рис. 2.1- гра­фик спектра амплитуд периодического сигнала

приведен гра­фик спектра амплитуд периодического сигнала. Аналогичный вид имеет и спектр фаз. Спектр периодической функции называется

линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных
линий, соответствующих частотам О, Ω.2Ω,…

Если функция S (t), опи­сывающая сигнал, четная, т.е. S (t) = S (-t), то согласно (2.1.3) все bk= 0, и соответ­ствующий ей ряд Фурье будет содержать только косинусоидальные члены. Если функция S(t) - нечетная, т.е. S(t) = -S(-t), то в ряде Фурье будут только синусоидальные члены. С использованием выражения

вместо (2.1.5) можно записать

(2.1.8)

Согласно выражениям (2.1.3) и (2.1.6) коэффициенты Ck и αk четны относительно k, а коэффициенты bk и фазовые углы - нечетны, т.е.

,
.

(2.1.9)

Поэтому вторую сумму в (2.1.8) можно представить в следующем виде

(2.1.10)

Объединяя обе суммы выражения (2.1.8), получим так назы­ваемую комплексную или показательную форму ряда Фурье

(2.1.11)

где коэффициенты называются комплексными амплитудами гармоник и связаны с коэффициентами Сk и k, а также bk и αk соотношениями

,
. (2.1.12)

На основании выражений (2.1.12) и (2.1.3) можно также записать

(2.1.13)

Сравнивая (2.1.5) и (2.1.13), замечаем, что при использова­нии комплексной записи ряда Фурье отрицательные значения к позволяют говорить о составляющих с "отрицательными* часто­тами. Однако появление отрицательных частот имеет формальный характер и связано с использованием комплексной формы записи для представления действительного сигнала. В самом деле, гар­монической составляющей с 'физической" частотой Ωk = kΩ в выражении (2.1.11) соответствует следующая пара слагаемых

.

Эта пара слагаемых, вследствие четности модуля и нечетности фазы k, дает в сумме вещественную гармоническую функцию с положительной частотой:

(2.1.14)

Благодаря удвоению числа составляющих при использовании показательной формы записи ряда Фурье амплитуды их в 2 раза уменьшаются. Использование такой записи в значительной степе­ни упрощает математические выкладки при исследовании прохож­дения сигналов через различные линейные системы.

Вычислим теперь среднюю за период мощность сигнала

(2.1.15)

где волнистая черта сверху означает усреднение по времени. Поставляя (2.1.2) в (2.1.15) и учитывая, что
,
,

а интегрирование за период исходной функции Т гармониче­ских колебаний с удвоенной частотой и произведений косинусов и синусов с аргументами неодинаковой кратности дает нуль, вместо (2.1.15) получим

(2.1.16)

Это выражение носит название равенства Парсеваля, которое показывает, что средняя мощность сигнала равна сумме сред­них мощностей его частотных составляющих и не зависит от фа­зовых соотношений между отдельными составляющими.

Спектры непериодических сигналов

S(t)

t

T

α

Ω

2Ω

4Ω

3Ω

5Ω

6Ω

C_k

C₅

C₄

C₂

C₁

C₆

C₃

Разложение в ряд Фурье может быть обобщено и на слу­чай непериодического сигнала. Действительно, пусть имеется периодический сигнал с периодом T и определенными ампли­тудным и фазовым спектром.

Рис.2.2 - При увеличении T частота первой гармоники уменьшается и спектральные линии

Если функция остается неизменной на интервале,то непериодическую функцию можно рассматривать как предель­ный случай периодической функции с неограниченно возрастаю­щим периодом. При увеличении T частота первой гармоники

уменьшается и спектральные линии на рис.2.2 б

располагаются чаще. В пределе при T→∞, интервал между

линиями в спектре сокращается до нуля, т.е. спектр вместо ди­скретного становится сплошным, непрерывным. Амплитуды гар­моник Сk, согласно (2.1. 13), становятся бесконечно малыми. Математически это можно выразить следующим образом. Введем вместо (2.1.13) функцию

(2.1.17)

Тогда вместо (2.1.11) получим

(2.1.18)

При Т→∞ частота kΩ может принимать любое значение ω,
.

Поэтому вместо (2.1.17) и (2.1.18) окончательно получим

(2.1.19)

(2.1.20)

Эти два выражения носят название пары преобразований Фурье, которая связывает между собой функцию времени S(t) и комплексную функцию частоты S(jw).

Физический смысл формулы (2.1.20) состоит в том, что непериодический сигнал S(t) имеет непрерывный спектр, т.е. представляется бесконечной суммой гармонических колебаний с бес­конечно малыми комплексными амплитудами (ср.(2.1.11))

(2.1.21)

Функция:

имеет размерность (амплитуда/герц) и показывает амплитуду сигнала, приходящуюся на единицу полосы частот в 1 гц. Поэтому эта непрерывная функция частоты называется спектральной плотностью комплексных амплитуд или просто спектральной плотностью.

Аналогично (2.1.12) спектральную плотность комплексных амплитуд можно представить в виде

(2.1.22)

где

(2.1.23)

и
. (2.1.24)

Функция называется модулем спектральной плотности или спектральной плотностью амплитуд, a -спектральной плотностью фаз.

Отметим одно важное обстоятельство. Сравнивая выраже­ния (2.1.13) и (2.1.17), замечаем, что при они отличаются только постоянным множителем, а

(2.1.25)

т.е. комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т. можно определять по спектральной характеристике непе­риодической функции такого же вида, заданной в интервале. Сказанное справедливо и по отношению к модулю спек­тральной плотности:

(2.1.26)

Это соотношение формулируется следующим образом: огибающая сплошного амплитудного спектра непериодической функции и оги­бающая амплитуд линейчатого спектра периодической функции совпадают по форме и отличаются только масштабом (рис.2.2) Вычислим теперь энергию непериодического сигнала. Ум­ножая обе части равенства (2.1.20) на S(t) и интегрируя в бесконечных пределах, получим

(2.1.27)

где и - комплексно-сопряженные величины. Так как

, то

(2.1.28)

Это выражение называется равенством Парсеваля для непериоди­ческого cигнала и аналогично (2.1.16), однако в отличии от последнего оно определяет не среднюю мощность, а полную энергию сигнала.

Из (2.1.28) видно, что есть не что иное, как энергия сигнала, приходящаяся на 1 гц полосы частот около частоты ω.

Поэтому функцию S2(w) иногда называют спектральной плот­ностью энергии сигнала S(t).

В заключение параграфа приведем без доказательства не­сколько теорем о спектрах, выражающих основные свойства преобразования Фурье.

1. Теорема сложения. Спектр суммы нескольких сигналов

S(t) = S1(t)+S2(t) +...

равен сумме спектров этих сигналов:

S(jw)=S1(jw) + S2(jw) + …

(2.1.29)

В справедливости этого выражения легко убедиться, используя выражения (2.1.19) и (2.1.20).

2. Теорема запаздывания. Спектральная плотность

сигнала полученного при сдвиге сигнала S(t) по
оси времени на, определяется выражением

т.е. сдвиг функции по оси времени приводит к появлению фазово­го сдвига для всех частотных составляющих, равного Wτ0

В справедливости последнего выражения легко убедиться, заменив в (2.1.19) t на

3. Теорема смещения. Если S(jw) - спектр функции S(t),

то спектру, полученному пу­тем сдвига исходного спектра по оси частот на величину w0, соответствует функция

(2.1.30)

4. Теорема о спектрах производной и интеграла. Спектры
производной и интеграла от функции S(t) определяются соответственно выражениями

(2.1.31)

5. Теорема о спектре свертки. Сверткой двух функций S1(t)и S2(t) называется интеграл

(2.1.32)

Спектр свертки двух функций равен произведению спектров свертываемых функций:

.

(2.1.33)

В частном случае, когда, то

(2.1.34)

Используя последнее выражение, легко получить ранее введен­ное равенство Парсеваля (2.1.28).

§ 2.2 Спектры некоторых импульсных сигналов

Рассмотрим некоторые конкретные примеры использования преобразования Фурье для анализа импульсных сигналов.

1. Одиночный прямоугольный импульс. Пусть имеется прямоугольный импульс длительностью и амплитудой h (рис.2.3). Для такого импульса прямым преобразованием Фурье находим

(2.2.1)

S(w)

w

q

где - площадь импульса. График этого спектра для положительных частот показан на рис. 2.3. Спектральная плотность обращается в нуль при а при w=0, S(w)=q.

Рис.2.3- График спектра для положительных частот

замечаем, что при уменьшении длительности импульса функция S(w) растягивается, т.е.

ширина спектра увеличивается. При увеличении ширина спектра уменьшается.

Если ограничить спектр прямоугольного импульса первым нулем спектральной плотности, т.е. круговой частотой

то для произведения длительности импульса на ширину спектра получим

Это равенство является частным случаем более общего равенст­ва, справедливого для всех импульсных сигналов:

(2.2.2)

согласно которому произведение ширины спектра сигнала на его длительность есть величина постоянная, близкая к единице. Су­ществует несколько определений длительности импульса и ши­рины спектра. Согласно одному из них под длительностью им­пульса (шириной спектра) понимается промежуток времени (по­лоса частот), в котором сосредоточена подавляющая часть энер­гии импульса.

2. Колокольный (гауссов) импульс. Колокольным называет­ся импульс, который описывается функцией

(2.2.3)

Для спектральной плотности такого импульса с использованием преобразования Фурье получим

(2.2.4)

Графики колокольного импульса и модуля его спектра показаны на рис. 2.4. Первой особенностью такого импульса является то,

S(t)

-σ  

σ  

t

-2σ  

2σ  

S(w)

-  

w

-  

h  

Рис.2.4- Графики колокольного импульса и модуля его спектра

что спектральная плотность его совпадает по форме с времен­ной функцией, т.е. является также гауссовой кривой. Другой особенностью такого импульса является то, что из всех возможных форм импульсов он имеет наименьшее произведение длительности на ширину спектра
.

3. Единичный импульс. Единичным импульсом или дельта--функцией σ(t) называется функция бесконечно малой дли­тельности с конечной площадью, равной единице:

Такую функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса с длительностью τ и высотой при τ→0.Устремляя в (2.2.1) τ→0, для спектральной плотности единичного импульса получим

S(jw)=1

(2.2.5)

Этот же результат можно получить и обычным способом:

так как δ(t)=0 при всех значениях t≠0, апри t=0 экспоненциальный множитель обращается в единицу. Здесь ис­пользовалось так называемое фильтрующее свойство δ - фун­кции, согласно которому

(2.2.6)

Таким образом, спектр единичного импульса является спло­шным и равномерным с единичной спектральной плотностью вплоть до бесконечно больших значений частоты.

Единичный импульс является математической абстракцией. Физически можно реализовать только короткий импульс, т.е. им­пульс очень малой длительности τ, с площадью, равной q. Спектр такого импульса определяется выражением

.

При малых τ величина и

(2.2.7)

Следовательно, короткий импульс любой формы имеет рав­номерный спектр вплоть до частот порядка (пока вы­полняется условие wt<1). Далее спектральная плотность начинает убывать.

4. Единичная функция. Единичная функция, единичный ска­чок или функция включения записывается в виде

(2.2.8)

Рис.2.5- Зависимость от частоты

Заметим, что рассмотренный ранее единичный импульс мож­но рассматривать как производную единичной функции:

а единичную функцию можно выразить интегральным соотношением

(2.2.9)

Используя теорему о спектре интеграла (2.1.31) и выраже­ние (2.2.5), получим

(2.2.10)

Модуль спектра этой функции есть Зависимость его от частоты показана на рис.2.5 б.

Единичная функция широко используется в качестве испытательного сигнала при исследовании переходных процессов в электрических цепях. Напомним, что отклик цепи h(t) на еди­ничную функцию называется переходной характеристикой.

5. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов с длительностью и периодом Т (Рис.2.6). Используя (2.1.13), для такой последовательности получим

C_k

w

C₅

C₇

C₈

C₁

C₂

C₄

(2.2.11)

Рис.2.6- периодическая последовательность прямоугольных импульсов

с длительностью и периодом Т

Этот же результат можно было бы получить и из выражения (2.2.1), используя соотно­шение (2.1.26), согласно которому спектральная плот­ность S (w) оди­ночного импульса длительностью С с точностью до постоянного множителя совпадает с огибающей спектра амплитуд периодической последовательности таких же импуль­сов с периодом следования Т. График модуля спектра (2.2.11) для положительных частот показан на рис.2.6.

На основании (2.1.11) и (2.2.11) периодическая последова­тельность прямоугольных импульсов разлагается в ряд Фурье сле­дующим образом

(2.2.12)

Отметим теперь следующее обстоятельство. Если при неиз­менной длительности импульса увеличивается период Т после­довательности, то расстояние между спектральными линиями Ω=> уменьшается, расстояние же между нулями огибающей спектра, равное, остается неизменным. При неизмен­ной длительности периода Т и изменении длительности импуль­са будет меняться расстояние между нулями огибающей спектра.

Число гармоник, укладывающихся в интервале или между любыми двумя соседними нулями, будет определяться величиной

(2.2.13)

Величина Q, равная отношению длительности периода к длительности импульсов, называется скважностью периодической импульсной последовательности.

6. Одиночный радиоимпульс. Радиоимпульсом называется импульс, временная функция которого записывается в виде

(2.2.14)

где τ - длительность импульса, a(t) - огибающая амплитуд,

w0 - частота, а φ0 - начальная фаза высокочастотного колебания, период которого Спектральная плотность радиоимпульса в соответствии с (2.1.19) будет равна

(2.2.15)

где

(2.2.16)

- спектральные плотности огибающей импульса α(t), смещенные по оси частот на постоянную величину (ср.с (2.1.30)).

Таким образом, спектральная плотность радиоимпульса пол­ностью определяется спектральной плотностью его огибающей. Можно показать, что при τ>>T0 и w>0 для большинства радиоимпульсов выполняется условие

(2.2.17)

Поэтому с достаточной точностью спектральную плотность одино­чного радиоимпульса можно определять по формуле

(2.2.18)

Проиллюстрируем сказанное на примере радиоимпульса с прямоугольной огибающей (рис.2.7):

(2.2.19)

(2.2.20)

откуда для модуля и фазы спектральной плотности находим

(2.2.21)

w

W₀

S(w)

S(t)

t

τ

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:vertAlign w:val="subscript"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>0</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

.

Рис.2.7- радиоимпульс с прямоугольной огибающей

График модуля спектральной плотности показан на рис.2.7.Как и следо­вало ожидать, от­резок гармониче­ского колебания имеет сплошной спектр. При не

ограниченном увеличении длительности импульса τ. получим гармоническое колебание в точном смысле определения периоди­ческой функции. Сплошной спектр колебания при этом вырожда­ется в одну спектральную линию на частоте ωo

§ 2.3. Модулированные колебания и их спектры

Как уже отмечалось в главе 1, модуляция заключается в изменении одного или нескольких параметров переносчика в соответствии с передаваемым сообщением. При использовании в качестве переносчика высокочастотного гармонического колебания модулированный сигнал в общем случае можно представить в ви­де

(2.3.1)

В зависимости от того, какой из параметров a, w или φ модулируется, различают три вида модуляции: амплитуд­ную (AM), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ). Всякое модулиро­ванное колебание несинусоидальное и имеет сложный спектр. Рас­смотрим перечисленные выше виды модуляции подробно.

Амплитудная модуляция

При амплитудной модуляции по закону управляющего сигнала U(t) изменяется амплитуда колебаний:

(2.3.2)

где ∆a— максимальное абсолютное изменение амплитуды, а

- относительное изменение амплитуды, называемое

коэффициентом модуляции.

AM колебание записывается в виде

(2.3.3)

и для случая модуляции чистым тоном имеет

вид, показанный на рис.2.8.Очевидно,чтобы не было искажений, коэффициент модуляции должен быть меньше единицы. Из графика для AM колебаний видно, что

откуда имеем

S(t)

. (2.3.4)

t

Рис.2.8 - AM колебание

Определим спектр AM колебаний при модуляции чистым тоном. Это можно сделать с помощью преобразования Фурье. Однако проще его получить с no-S мощью простых тригонометрических преобразований. Действительно, по­лагая в (2.3.3)

u(t) = cosΩt,

получим

Замечаем, что AM колебание имеет дискретный спектр и состоит из трех не кратных гармонических составляющих: колеба­ния несущей частоты w0 с амплитудой и двух колебаний с амплитудами
и частотами, которые называ­ются боковыми частотами. Спектр AM колебания показан на рис.2.9. Ширина спектра АМ-сигнала равна 2Ω.

C

Как известно, гармонические колебания часто представляют в виде векторов. Аналогично можно построить векторную диаграмму для AM колебания, которая показана на рис.2.10. При построении диаграммы предполагалось, что плоскость чертежа вращается по часовой стрелке со скоростью w0. Поэтому вектор несу

щего колебания OA неподвижен относительно оси времени. Векторы боковых колебаний вращаются относительно вектора несущей со скоростью ±Ω т.е. в противоположные стороны. Результирующий вектор ОС в результате этого изменяется толь­ко по длине, но не по направлению.

-Ω

+Ω

A

Рис.2.9-Спектр AM колебания Рис.2.10- векторная диаграмма

В более общем случае, когда модуляция осуществляется сложным периодическим сигналом, который можно разложить в ряд Фурье

(2.3.6)

выражение для AM - колебания можно представить в виде

.

В этом случае AM колебание состоит из колебания несу­щей частоты и двух боковых полос с суммарными и разностными частотами. Спектр такого колебания показан на рис.2.11. Если спектр модулирующего ко­лебания ограничен свер­ху частотой, ширина спектра моду­лированного колебания равна.

w

Рис.2.11- Спектр колебания

Заметим, что огиба­ющая амплитуд боковых частот с точностью до постоянного множителя совпада­ет с огибающей спектра амплитуд модулирующей функции. Это позволяет легко построить амплитудный спектр AM колебания, если известен спектр модулирующей функции. Для построения необходимо сместить спектр модулирующей функции по оси ча­стот на величину w0, получая при этом верхнюю боковую по­лосу; нижняя боковая полоса будет являться зеркальным отображением верхней относительно частоты w0.

Проиллюстрируем сказанное на примере амплитудной манипуляции (рис.2.12). В случае манипуляции модулирующая функция представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов и согласно (2.2.12)

при ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> разлагается в следующий ряд Фурье

S(t)

t

τ

T

(2.3.8)

w

W₀

Рис.2.12 - амплитудная манипуляция

Амплитудно-манипулированное колебание при этом записы­вается в виде

(2.3.9)

Амплитудный спектр манипулированного колебания показан на рис.2.12.

Амплитудно-модулированные колебания являются типичным примером почти периодических сигналов, для которых гармонические составляющие имеют некратные частоты.

Рассмотрим энергетические соотношения при AM. В соот­ветствии с изменением амплитуды колебания изменяется и сред­няя за период высокой частоты мощность модулированного ко­лебания.

Мощность сигнала в отсутствии модуляции (мощность не­сущего колебания) определяется первым членом выражения (2.3.5) и равна

(2.3.10)

где период высокочастотного колебания.

В режиме модуляции мощность непрерывно изменяется. Ее максимальное и минимальное значения соответс

Дата добавления: 2014-01-07