Й учебный вопрос. Основные понятия теории игр

Что общего у шахмат, карточных игр, войн, переговоров, рыночной конкуренции, аукционов? Все эти ситуации можно описать при помощи теории игр - раздела прикладной математики, ставшей неотъемлемой частью экономической теории. Как только имеет место взаимодействие самостоятельных рациональных (или частично рациональных) субъектов, возникает игра. Главный вопрос теории игр заключается в предсказании поведения участников игры: какие ходы сделают шахматисты, чем завершатся войны и переговоры, какие цены сформируются на рынке и т.д. Оказывается, теория игр позволяет сделать достаточно сильные предсказания.

В данном разделе мы рассматриваем основные понятия теории игр и разбираем несколько классических примеров. Во-первых мы рассматриваем наиболее интуитивное описание игр - так называемую развернутую форму, а именно протокол возможных последовательностей ходов игроков. Примером такого описания являются правила шахмат, шашек или крестиков-ноликов. Оказывается, впрочем, что существует более общее и более полезное описание: нормальная (или стратегическая) форма. Мы уделяем особое внимание играм в матричной форме, когда множество участников состоит из двух игроков, каждый из которых выбирает из конечного множества стратегий.

Полностью описав игру, мы постараемся «решить» ее, то есть предсказать выбор стратегий участниками. Мы рассмотрим несколько концепций решения («равновесия»). Самым логичным выбор для каждого участника является выбор доминирующей стратегии, то есть стратегии, которая дает ему наибольший выигрыш для любого заданного поведения других игроков. Однако, доминирующие стратегии и тем более равновесие в доминирующих стратегиях не всегда существуют (Gibbons 1.1.B). Стратегия, являющаяся наилучшим ответом на один ход соперника, может быть наихудшим ответом на другой ход.

Гораздо менее требовательно равновесие по Нэшу (Gibbons 1.1.C), то есть решение, где каждый игрок выбирает наилучший ответ на текущее поведение другого игрока. К сожалению, и равновесие по Нэшу может не существовать в матричных играх. Одно из достижений Нэша - Теорема Нэша (Gibbons 1.3.B) о существовании равновесия по Нэшу в играх с непрерывными компактными выпуклыми множествами стратегий и вогнутыми функциями выигрыша. Как сделать матричные игры выпуклыми? Дать игрокам возможность использовать смешанные стратегии (Gibbons 1.3.А), то есть устанавливать вероятности выбора каждой стратегии из первоначального конечного множества.

Мы рассматриваем несколько классических поучительных примеров.

Дилемма заключенного (Gibbons 1.1.А) показывает, что равновесие по Нэшу не обязательно оптимально по Парето. Более того, оно может быть единственным не оптимальным по Парето исходом. Типичное приложение дилеммы заключенного - торговые войны.

Чет-нечет (matching pennies). Один из участников загадывает чет или нечет, а второй пытается отгадать. Как и в игре камень-ножницы-бумага, в этой игре нет равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, но в смешанных стратегиях оно, естественно, существует.

Координация. В этой игре два равновесие по Нэшу, причем одно из них доминирует другое по Парето. Типичный пример: проблема экстерналии размера рынка при индустриализации децентрализованной экономики. При наличии экономии от масштаба в индустриальном производстве предприниматели будут вкладывать в новые технологии только тогда, когда на их продукцию имеется достаточно высокий спрос. С другой стороны, спрос увеличивает, если другие предприниматели вкладывают в новые технологии. Таким образом, стимулы к индустриализации тем больше, чем больше предприятий уже индустриализированы. Такие «числовые» экстерналии существуют и в моделях преступности, накопления человеческого капитала и т.д. Проблема координации очень часто встречается в институциональных теориях экономического развития. Литература: В.М. Полтерович «Институциональные ловушки и экономические реформы», Debraj Ray “Development Economics”

Две похожих на координацию игры: семейный спор и встреча в Нью-Йорке. В обеих существуют два оптимальных по Парето равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, так что выбор между ними совсем не очевиден. Кроме того, оказывается, что равновесие в смешанных стратегиях не оптимально по Парето.

Война на истощение (война на выживание). Участники воюют за приз, неся текущие потери до тех пор, пока один из них не сдастся. Примеры: ценовые войны и откладывание экономических реформ. Равновесие в игре с полной информацией тривиально. В случае асимметричной информации игра представляет гораздо больший интерес.

Трагедия общины, (или проблема общедоступного ресурса, или проблема безбилетника, Gibbons 1.2.D). В децентрализованной экономике агенты пренебрегают производством общественных благ. Равновесие по Нэшу не оптимально по Парето.

Статические модели олигополии. Равновесие по Нэшу было впервые описано французским экономистом Курно для описания олигополии. Мы рассматриваем две классических модели олигополии: модель Курно (Gibbons 1.2.А), где стратегиями являются объемы выпуска, и модель Бертрана (Gibbons 1.2.B), где стратегиями являются цены. Оказывается, что равновесие в модели Курно обладает гораздо более интуитивным свойствами. С другой стороны, модель Бертрана, предположения которой больше соответствуют действительности с точки зрения здравого смысла, порождает парадоксальные выводы: для достижения совершенной конкуренции достаточно иметь двух конкурентов (парадокс Бертрана). Мы обсуждаем, что какие именно предположения модели Бертрана порождают данный парадокс и предлагаем различные решения парадокса: ограничение по мощностям, дифференцированные продукты, несовершенную информацию.

Дата добавления: 2014-01-07