Количество движения материальной точки — векторная мера ее движения, равная произведению массы точки на вектор ее скорости

Теорема об изменении количества движения механической системы

.

Количество движения механической системы или главный вектор количества движения — геометрическая сумма коли­честв движения всех материальных точек системы

.

,

где — скорость центра масс.

Если механическая система состоит из твердых тел, то по формуле определяется количество движения каждого k - гo тела, а затем

.

где — скорость центра масс k -то тела.

Модуль главного вектора количества движения системы оп­ределяется через его проекции на оси декартовых координат

.

Импульс силы — векторная мера действия силы в течение некоторого времени.

Элементарный импульс силы — векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный про­межуток времени

.

Импульс силы за конечный промежуток времени t ра­вен интегральной сумме соответствующих элементарных им­пульсов, т. е.

.

Выражение в проекциях на оси декартовых координат

.

Если на точку действует несколько сил, то они заменяются равнодействующей , импульс которой равен геометриче­ской сумме импульсов всех сил. Поясним это:

.

.

Действие внешних сил, приложенных к механической сис­теме за некоторый промежуток времени , характеризуется импульсом главного вектора внешних сил:

.

Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме. Производная по времени от количества движения мате­риальной точки равна геометрической сумме сил, дейст­вующих на точку

Доказательство. Запишем основ­ной закон динамики в виде

.

Теорема в интегральной (конечной) форме. Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сум­ме импульсов сил, действующих на точку, за тот же проме­жуток времени.

Доказательство.

.

Векторные равенства можно записать в про­екциях на оси декартовых координат:

Задача 3. Точка массы т = 2 кг движется горизонтально под действи­ем силы Q = 20 Н в среде, сопротивление которой определяет­ся силой R = aV, где а = 0,4 кг/с. Какую скорость приобретет точка за время t = 10 с, если движение началось без начальной скорости?

Решение. Применим теорему об изменении материальной точки в дифференциальной форме в проекции на ось х. Покажем силы .

.

Задача 4. Материальная точка массы т = 1 кг движется по окружно­сти с постоянной скоростью V = 10 м/с из точки . Определить импульс сил, действую­щих на точку, за время, в течение которого точка пройдет длины окружности.

Решение. Применим теорему об из­менении количества движения мате­риальной точки в интегральной форме

.

Найдем проекции импульса на оси координат ху:

Импульс сил

.

Дата добавления: 2014-01-14