Несобственный интеграл от неограниченной функции

При вычислении интеграла Римана по отрезку существенным было то, что мы можем получить конечное значение функции в любой точке отрезка для подсчета значения интегральной суммы при соответствующем выборе отмеченных точек. Поэтому невозможно было вычисление интеграла Римана от функции, принимающей бесконечные значения в точках отрезка. Тем не менее, интеграл от такой функции в ряде случаев может быть вычислен, но называется он несобственным интегралом от неограниченной функции. Здесь так же, как и в случае неограниченной области интегрирования, используется предельный переход.

Предположим, что функция , непрерывная в всех точках полуинтервала , обладает свойством . Тогда определим . Если такой конечный предел существует, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл сходится. В противном случае говорят, что интеграл расходится.

Пример. Исследуем сходимость интеграла . Имеем при и при . Устремим теперь к 0. Очевидно, что конечный предел существует только при . Он равен . При соответствующий предел бесконечен. Таким образом, несобственный интеграл сходится только при . При несобственный и интеграл расходится.

Дата добавления: 2014-01-14