Эйлеровы интегралы

Приведенное название объединяет две функции, представимые в виде интегралов и имеющие ряд замечательных свойств.

1. B-функция (или эйлеров интеграл 1-го рода) – это функция двух переменных, имеющая вид . При B-функция представляет собой обычный интеграл Римана. При или B-функция представляет собой несобственный интеграл от неограниченной функции, сходящийся только, если . Отметим следующие свойства введенной функции.

1) Делая замену переменной в интеграле, получим .

2) Используя интегрирование по частям при , получим

Следовательно, . Применяя эту формулу несколько раз в случае, когда , получим

В частности, в случае, когда и – натуральное число, имеем

.

2. Г-функция (или эйлеров интеграл 2-го рода) – это функция одной переменной вида . Этот интеграл сходится при .

Интегрируя по частям, получим

.

В частности, при имеем .

Таким образом, Г-функция является продолжением функции «факториал» на множество положительных переменных.

Значения Г-функции при нецелых значениях аргумента определяются с помощью специальных таблиц.

Без доказательства приведем формулу связи между эйлеровыми интегралами: .

П р и м е р. Найти .

Сделаем в интеграле замену переменного . Имеем

.

Дата добавления: 2014-01-14