Комплексные числа

Целый ряд важных математических задач в области действительных чисел оказываются неразрешимыми. Например, квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом в области действительных чисел корней не имеет. В связи с этим возникает необходимость соответствующего расширения множества действительных чисел. Таковым является множество комплексных чисел.

Определение 2.1. Комплексным числом называется формальное выражение вида (или, что то же самое, ), где х, у –любые действительные числа, а i - некоторый символ, называемый мнимой единицей. Вещественные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа z и обозначаются символами и соответственно. Множество всех комплексных чисел обозначается С. Комплексное число отождествляется с действительным числом х. В частности, комплексное число обозначают 0. Таким образом, множество действительных чисел R является подмножеством множества комплексных чисел С.

Два комплексных числа считаются равными в том и только в том случае, когда и . Сумма и произведение двух комплексных чисел и определяются формулами:

. (2.1)

С помощью второй из формул (1) вычислим

Следовательно, символ удовлетворяет условию . С помощью первой из формул (2.1) легко проверить, что для каждого комплексного числа существует противоположное ему число –z такое, что Таковым является число Разность двух комплексных чисел и определяется формулой

.

Покажем, что для каждого комплексного числа существует обратное ему число такое, что Пусть . Тогда согласно второй из формул (1) равенство перепишется в виде

откуда по определению равенства двух комплексных чисел получаем систему уравнений для и

.

Из этой системы находим .

Таким образом, число существует и выражается формулой

. (2.2)

Частное двух комплексных чисел и определяется формулой . Отсюда с помощью формулы (2.2) и второй из формул (2.1) для частного двух комплексных чисел получаем следующее выражение:

. (2.3)

Комплексное число называется комплексно сопряженным к числу . Сумма и произведение комплексно сопряженных чисел - вещественные числа. Комплексные числа удобно изображать точками или векторами на плоскости. Если на плоскости ввести декартову прямоугольную систему координат Оху, то комплексное число изобразится точкой М(х,у) или вектором . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной. Сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению и вычитанию соответствующих им векторов.

Число называется модулем комплексного числа и обозначается символом Модуль числа z равен длине вектора, изображающего это число. Всякое решение φ системы уравнений

(2.4)

называется аргументом комплексного числа . Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга на число, кратное . Для обозначения аргумента комплексного числа z используется символ Аргумент φ, удовлетворяющий условию , называется главным значением аргумента и обозначается Часто главное значение аргумента определяется условием . Из формул (2.4) следует .

Запись называется тригонометрической формой комплексного числа z в отличие от алгебраической формы . Символом обозначается комплексное число . С помощью этого символа всякое комплексное число может быть записано в показательной форме .

Вычислим произведение двух комплексных чисел и в тригонометрической форме. В силу второй из формул (2.1)

Таким образом, при перемножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. В частности, . Методом математической индукции последняя формула обобщается на случай степени с любым натуральным показателем n следующим образом:

. (2.5)

Это так называемая формула Муавра.

В силу (2.3) для частного двух комплексных чисел и в тригонометрической форме получаем следующее выражение:

Таким образом, при делении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Займемся теперь вычислением корня из комплексного числа. По определению, корень есть такое число W, что Пусть а Тогда по формуле Муавра (2.5)

. (2.6)

Из (2.6) по определению равенства комплексных чисел выводим , , , откуда , , . Следовательно,

. (2.7)

При остальных значениях к в силу периодичности синуса и косинуса новых значений для корня не получается. Таким образом, корень n -й степени из комплексного числа имеет ровно n различных значений, которые находятся по формуле (2.7).

Пример. Вычислим . Представим число 1 в тригонометрической форме Тогда по формуле (2.7) . Обозначив к -е значение корня через W_k, получим три значения корня:

.

Дата добавления: 2014-01-14