Тройные интегралы

Определения. Пусть f опред. и огранич в паралл A, τ -разбиение A на n паралл, их объемы и диаметры = , в" паралл. выберем т и образуем сумму . Введем ранг τ: и определим предел интегральных сумм:

, если как только независимо от

выбора .

Тройным интегралом от f по A наз. число , если предел существует, при этом f наз интегрируемой функцией по A.

Далее, множество имеет нулевой объем, если его можно покрыть конечным числом параллелепипедов, сумма объемов которых сколь угодно мала.

Пр., график непр. функции двух переменных на ограниченном и замкнутом множестве, гладкая поверхность имеют нулевой объем.

Признак инт.: если имеет нулевой объем, а f непр. в , то f инт. по A.

Далее, множ. наз. допуст. если оно ограничено, замкнуто и его граница имеет нулевой объем. Определим тр. интеграл по такому множ. Пусть f непр. на допуст. множ. Ω, тогда $ параллелепипед AÉ Ω, определим : , , она инт. по A, ее точки разрыва имеют нулевой объем, положим по опред. .

Пр. ; -объем Ω по опред.

Свойства

1 Линейность

2 Аддитивность. Пусть Ω разделена поверхностью на 2 части , тогда

3 Монотонность. 1) , 2) , 3)

4 Т. о среднем значении. Пусть f непр. на допуст. множ Ω, тогда , наз. ср. знач. f на Ω.

Вычисление

1 Повторные интегралы. Это конструкции вида или

Пр. 1) Þ

2) ,

2 Прав допуст множ. Пусть функции непрерывны на замкнутом и ограниченном множестве D с кусочно-гладкой границей и на D.

Множ наз. правильным вдоль OZ.

3 Т. Фубини о сведении тройного интеграла к повторному. Пусть множ Ω прав вдоль OZ, опред функциями , а f непр в Ω, тогда .

Пр.

Приведем еще одну конструкцию повторного интеграла, к которому сводится тройной интеграл. Пусть Ω занимает вдоль Z отрезок [a,b] и сечения D(z) – допуст. множ, тогда , если $ внутренний двойной инт. по сечениям.

Приложение

1) Масса тела , объем

2) Ст. моменты и ц. м. трехмерной фигуры

3) Моменты инерции трехмерной фигуры относительно осей координат

Дата добавления: 2014-01-14