Геометрическая модель

Комбинаторика. Классические модели. Примеры.

1. Распределение Максвелла-Больцмана:

Задача:

r шаров в n ячейках, таких что - максимальные числа шаров в каждой из ячеек, где все размещений равновероятны

2. Статистика Бозе - Эйнштейна

Задача:

r частиц в n ячейках. Рассматриваются только различимые размещения, и каждому из них приписывается вероятность:

3. Статистика Ферми - Дирака

Задача:

Та же задача, но

1) в одной ячейке не могут находиться более одной частиц.

2) все различимые размещения, удовлетворяющие первому условию, имеют одинаковую вероятность.

Уже в самом начале развития теории вероятностей была замечена недостаточность “классической“ модели теории вероятности, основанной на рассмотрении конечной группы равновероятных событий. Уже тогда частные примеры привели к некоторому видоизменению этой модели и построению модели также для случаев, когда мыслимо бесконечное множество исходов. При этом по прежнему основную роль играло понятие “равновероятности“ некоторых событий.

Для геометрической модели ставится задача:

Пусть например, на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g. В область G бросается точка наудачу и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадёт в область g.

Причём попадания в любые две точки принадлежащие G имеют одинаковые вероятности.

Таким образом, по определению, вероятность попадания в область g при бросании наудачу точки в область G равна отношению меры измерения G и g.

Пример 1:

На уроке физкультуры ученик сдаёт метание мяча. Нормы на «5» более 30 метров. Он может равновероятно кинуть на расстояние от 25 до 40 метров. Какова вероятность, что ученик получит оценку «5»?

Решение: Длина области G (всех возможных значений) 15 метров (от 25 до 40).

Длина области g (благоприятных исходов в G) 10 метров (от 30 до 40).

Вероятность

Пример 2:

Преподаватель может равновероятно прийти в течении 15 минут после звонка. Какова вероятность, что он опоздает не более чем на пять минут?

Решение: Отрезок времени области G (всех возможных значений) 15 минут.

Отрезок времени области g (благоприятных исходов в G) 5 минут.

Вероятность

Пример 3:

Преподаватель может равновероятно прийти в течении 15 минут после звонка. Какова вероятность, что он придет ровно в пять минут после звонка?

Решение: Отрезок времени области G (всех возможных значений) 15 минут.

Отрезок времени области g (благоприятных исходов в G) равен 0 (длина точки).

Вероятность

Пример 4:

Два лица А и В условились встретиться в определённом месте между 12 часами и одним часом дня. Пришедший первым ждёт в течении 20 минут, после чего уходит.

Чему равна вероятность встречи этих двух лиц, если приход каждого из них в течении указанного часа может произойти наудачу и моменты их прихода независимы.

Решение:

Пусть Х - момент прихода лица А.

Y - лица В.

Условие встречи:

Примечание: Необходимо обратить внимание, что измерение областей всех возможных значений (G) и в ней области благоприятных исходов (g) может быть какой угодно, и в любых единицах измерения. Всё зависит от постановки задачи, как хорошо видно в примерах 1,2,4.

Дата добавления: 2014-01-14