Нормальное распределение

Опр. С. в. Х имеет нормальное распределение с параметрами m, s, если её плотность распределения имеет вид:

Мода x_m = m

т. к. график f(m) симметричен, то

M_x = x_m = m

Замена переменной t=(x-m)/s

Þ

Интегрируя по частям:

Þ среднее квадратичное отклонение s_х = s

Центральный момент S- го порядка:

Делаем замену переменной:

При нечётном S m_S = 0 (интервал в симметричных пределах от нечётной функции равен нулю).

При чётных S: (интегрирование по частям)

т. к.

Þ

т. к. m₀ = 1 Þ m₂ = s² Þ m₄ = 3s⁴ Þ m₆ = 15s⁶ …

Эксцесс:

Вероятность попадания на участок от a до b:

Замена переменных:

Как известно, неопределённый интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно выразить через специальную функцию:

- функция Лапласа (или «интеграл вероятностей»)

Для неё составлены таблицы.

Þ

Свойства функции Лапласа:

1. Ф (0) = 0

2. Ф (- х) = - Ф (х) - нечётная функция

3. Ф (+ ¥) = 0,5 Þ Ф (- ¥) = - 0,5

Док – во:

Делаем замену -t = z

3-е свойство вытекает из интеграла Эйлера - Пуассона:

1u2u3

Þ Ф (+ ¥) = 1/2

Функция распределения:

Замечание:

Нормальное распределение возникает в тех случаях, когда складывается много независимых с. в. Х₁, Х₂,…, Х_n. Тогда, каковы бы ни были с. в. Х₁, Х₂,…, Х_n, закон распределения их суммы будет близок к нормальному.

Дата добавления: 2014-01-14