Зависимые и независимые случ. величины. Условные законы распределения

Опр. Две с.в. Х и У называются независимыми, если независимы все связанные с ними события.

Замечание: Так как зависимость и независимость событий всегда зависимы, то зависимость и независимость с.в. также всегда взаимны.

Другое опр. Две с.в. называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.

Функция распределения:

F(x,y)=P{X<x; Y<y}=P{X<x}P{Y<y}, т.к. {X<x} и {Y<y} независимы

Þ p_ij=P{X=x_i}P{Y=y_j}=p_xip_yj

Плотность распределения независимых с.в.:

где f₁(x) – плотность распределения с.в. Х

f₂(x) - плотность распределения с.в. У

Опр. Уловным законом распределения одной из величин (Х,У), входящих в систему, называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая с.в. приняла определенное значение.

Функция распределения для любых с.в.:

F(x,y)=P{X<x;Y<y}=P{X<x}P{Y<y|X<x}=P{Y<y}P{X<x|Y<y}=

=F₁(x)P{Y<y|X<x}

Опр. Условной функцией распределения с.в. У называется условная вероятность P{Y<y|X<x}, т.е. вероятность события {Y<y} при условии, что величина Х приняла значение меньше, чем х.

P{Y<y|X<x}=F₂(y|X<x)

Тогда F(x,y)=F₁(x)F₂(y,X<x)= F₂(y)F₁(x,Y<y)

Теорема умножения плотностей:

Рассмотрим систему двух зависимых непрерывных с.в. (Х,У) и докажем, что их совместная плотность равна произведению плотности одной из них на условную плотность другой при заданном значении первой:

f(x,y)=f₁(x)f₂(y|x)=f₂(y)f(x|y)

Док-во:

Рассмотрим элемент вероятности f(x,y)dxdy, т.е. вероятность попадания:

A₁={XÎ(x,x+dx)}

A2={YÎ(y,y+dy)}

Þf(x,y)dxdy=P(A₁)P(A₂|A₁)=P{XÎ(x,x+dx)}P(YÎ(y+dy)|XÎ(x+dx)}

Теперь: dx и dy ® 0

F(x,y) dx dy=f₁(x) dx f₂(y|dx) dy Þ f(x,y)=f₁(x) f₂(y|x)

Свойства условной вероятности:

f₂(y|x)³0

f₁(x|y)³0

Дата добавления: 2014-01-14