Числовые характеристики системы двух с.в. Ковариация и коэффициент корреляции

Опр. Начальным моментом порядка k,s системы двух с.в.(Х,У) называется математическое ожидание произведения X^kY^s

a_k,s=M[X^kY^s]

Опр. Центральным моментом порядка k,s системы двух с.в. (Х,У) называется математическое ожидание произведения на

где =X-M_x; =Y-M_y - центрированные с.в.

Для дискретных с.в. (Х,У):

Для системы непрерывных с.в. (Х,У):

Примечание:

Опр. Ковариацией (корреляционным моментом) с.в. Х,У называется мат. ожидание произведения центрированных с.в. и .

Замечание:

Для независимых с.в. доказано, что f(x,y)=f₁(x)f₂(y)

Þ

\ \

0 0

Замечание: Ковариация двух с.в равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий.

М[X,Y]

//

// \ \

M_xM_y M_xM_y 1

Опр. Коэффициентом корреляции называется ковариация обезразмеренная делением на средние квадратичные отклонения с.в. Х и У:

Замечание: величина r_xy характеризует степень зависимости этих величин, причем только в линейной зависимости, проявляющейся в том, что при возрастании одной с.в. другая проявляет тенденцию также возрастать, если r_xy >0, и убывать, если r_xy < 0.

Модуль коэффициента корреляции случайных величин Х и У характеризует степень тесноты линейной зависимости между ними.

Если линейной зависимости нет, r_xy =0. Если между с.в. существует жесткая функциональная линейная зависимость: У=аХ + b,

то r_xy=+ 1 при а>0 и r_xy =-1 при а< 0

Опр. Если ковариация K_xy двух с.в. равна нулю, с.в. Х и У называются некоррелированными; если же не равна нулю - коррелированными.

Дата добавления: 2014-01-14