Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение Пирсона

Рассмотрим закон распределения выборочной дисперсии, рассчитанной для наблюдений, взятых из нормальной совокупности.

При анализе распределения дисперсии выборки следует иметь ввиду следующие два случая:

1) мат. ожидание случайной величины известно

2) мат. ожидание случайной величины неизвестно

Случай 1 - мат. ожидание случайной величины Х

Случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения

с параметрами

- ряд независимых наблюдений, каждое из которых подчиняется нормальному закону распределения с мат. ожиданием и дисперсией.

Тогда выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

Введём - подчиняется нормальному закону с и

Т.к. - независимы

также независимы

Пусть , u - подчиняется нормальному закону с и

- независимы

Обозначим

Опр. Случайная величина, представляющая собой сумму квадратов n независимых случайных величин , каждая из которых подчиняется нормальному закону распределения с параметрами называется случайной величиной с распределением и k=n степенями свободы.

Примечание: Число степеней свободы вычисляется по числу независимых переменных за вычетом количества связей, накладываемых на них.

L(n) - коэффициент, зависящий от объёма выборки

- текущая переменная

n - количество элементов в выборке

Замечание Распределение статистики не зависит ни от мат. ожидания, ни от дисперсии, а зависит лишь от объёма выборки.

Замечание Следовательно, мат. ожидание равно числу степеней свободы.

(дисперсию выводится в литературе).

Случай 2 Х - подчиняется нормальному закону распределения с параметрами

- ряд независимых наблюдений над случайной величиной Х.

Дисперсия выборки вычисляется по формуле:

Аналогично доказывается, что случайная величина имеет распределение , но с k=(n-1) степенями свободы.

Дата добавления: 2014-01-14