Анализ общего уравнения

Плоскость в пространстве.

Смешанное произведение в координатной форме.

Смешанное произведение трех векторов.

Определение: Смешанным произведением трех векторов a, b, c, взятых в таком порядке называется число, равное (a´b)•с.

По определению: abc.

Чтобы вычислить смешанное произведение нужно:

1) вектор умножить векторно на: a´b = вектор;

2) полученный вектор умножить на с скалярно: (a´b) • с = число.

Свойства смешанного произведения:

1° смешанное произведение вкруговую abc= - bac= bca=...

2° (λa)bc= λ(abc).

3° (a+ b) cd= acd+ bcd.

4° ijk= (i×j)• k= k• k= │k│²= 1. ijk= 1.

Возьмем три вектора в координатной форме:

а= (а_х, а_у, а_z)= a_xi + a_yj + a_zk;

b= (b_x, b_y, b_z)= b_xi + b_yj + b_zk;

с= (с_x, с_y, с_z) = c_xi + c_yj + c_zk.

abc= (a´b)• с.

.

Приложения смешанного произведения.

1) Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех векторах как на ребрах.

V_парал= │abc│.

Из геометрии: V_парал= S_осн· h.

S_осн= S_пар=│a´b│.

Из приложения векторного произведения:

h=│с│·cos φ.

V_парал= │ a´b │·│c│·cos φ =│(a´b) • с│=│abc│.

Следствие: высота параллелепипеда h=.

2) V_тетр= V_парал=│abc│.

Из геометрии: V_тетр= S_осн· h; h_тетр=.

3) Если смешанное произведение abc>0, то тройка векторов правая; если abc<0, то тройка векторов левая.

abc= (a´b) • с = │a´b│·│c│·cos φ.

abc>0, cos φ >0, Ðj- острый, abc - правая тройка.

abc<0, cos φ <0, Ðj- тупой, abc - левая тройка.

4) abc – компланарные, если параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

Условие компланарности: abc=0.

a´b ^ плоскости α.

a´b ^ с, (a´b) • с = 0 (условие перпендикулярности двух векторов), abc=0.

Пример. Лежат ли четыре точки A(1;2;-1), B(0;1;5), C(-1;2;1), D(2;1;3) в одной плоскости?

Определение: Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали к этой плоскости.

N= (A, B, C).

Пусть т. М₀ (x₀, y₀, z₀) - произвольная фиксированная точка плоскости α,

т. М (x, y, z) - произвольная нефиксированная точка плоскости α (текущая).

α

М₀

М

Вектор М₀М=(x- x₀, y- y₀, z- z₀) Є плоскости α.

Вектор N= (A, B, C) ^ плоскости α.

‪⇒ N ^ М₀М.

Из условия перпендикулярности двух векторов: N • М₀М= 0.

В координатной форме: A(x- x₀)+ B(y- y₀)+ C(z- z₀)= 0 – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Раскроем в этом уравнении скобки и соберем свободные члены

Ax+By+Cz-Ax₀-By₀-Cz₀= 0.

Обозначим: D=-Ax₀-By₀-Cz₀.

Ax+ By+Cz+D= 0 ‒ общее уравнение плоскости, где N(A, B, C) – координаты вектора нормали.

1) А= 0, B, C, D ≠ 0, т.е. нет х, нормаль N=(0, B, C).

Скалярное произведение: N• i= 0· 1+ B· 0+ C· 0= 0. ⇒ N ^ i, N ^ OX.

Т.о. плоскость параллельна оси OX, т.е. α ║ OX.

Аналогично, В=0, нет у, плоскость α ║ ОУ;

С=0, нет z, плоскость α ║ OZ.

2) А= В= 0; нет х, у; плоскость α ║ XOY;

A= C= 0; нет x, z; плоскость α ║ XOZ;

В= С= 0; нет y, z; плоскость α ║ YOZ.

3) D= 0: Ax+ By+ Cz= 0.

т. О (0, 0, 0) удовлетворяет уравнению, плоскость проходит через начало координат т. О(0, 0, 0).

4) A= D= 0, B≠ C≠ 0, т.е. нет х и проходит через т. О. ⇒ плоскость α проходит через ОХ.

Аналогично, B= D= 0, плоскость α проходит через ОУ;

C= D= 0, плоскость α проходит через OZ.

5) х= 0 - уравнение координатной плоскости YOZ;

y= 0 - уравнение координатной плоскости XOZ;

z= 0 - уравнение координатной плоскости XOY.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

Аксиома: Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Пусть т. М₁(x₁, y₁, z₁), т. М₂ (x₂, y₂, z₂), т. М₃(x₃, y₃, z₃) Є плоскости.

Пусть т. М (x, y, z) - текущая точка плоскости.

M

М₁

М₂

М₃

Вектор М₁М= (х- x₁, y- y₁, z- z₁), М₁М₂= (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁),

М₁М₃= (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁).

Все вектора лежат в одной плоскости ⇒ векторы компланарны. Тогда смешанное произведение векторов М₁М·М₁М₂· М₁М₃= 0:

- уравнение плоскости через три точки.

Дата добавления: 2014-01-15