Частотные характеристики замкнутой системы

ЧХ позволяют исследовать установившиеся процессы.

Уравнения состояния

В некоторых случаях удобно описывать систему с помощью уравнений состояния. При описании систем и элементов в пространственном состоянийи: рассматриваются векторы: а) - вектор координат состояния;

б) - вектор управлений (входов);

в) -- вектор выходов.

где Ф(S) – матричная передаточная функция.

Многомерные системы удобно описывать уравнениями состояния:

Х – вектор состояния. При использовании нормальной формы Коши записи ДУ ; U – вектор управления, Y – вектор выхода.

A- системная матрица, B – матрица входа, С и D – матрицы выхода. Часто D=0, при этом: Координаты состояния можно изменять с помощью преобразования подобия матриц:

X-новые координаты состояния. Уравнения примут вид

Преобразования подобия не меняют собственные числа матриц.

– собственные числа (значения) матрицы А, являющимися корнями характеристического уравнения.

Покажем, что преобразования подобия не меняют собственные числа матрицы

.

При исследовании систем используется алгебраизация уравнений состояний с помощью преобразования Лапласа.

X(0) – вектор начальных условий.

Для определения матричной передаточной функции выразим X(s) из 1-ого уравнения

– матричный экспоненциал- матрица Коши.

– матричная передаточная функция.

– матричная АФХ системы.

При исследовании системы по уравнениям вход - выход частотные характеристики представлены не только виде АФХ, АЧХ, ФЧХ, но в виде логарифмических характеристик (ЛЧХ). Используют логарифмический масштаб по оси абсцисс и по оси ординат.

20. Логарифмические частотные характеристики

1. Логарифмические масштабы

W(jω)=R(ω)e^jφ(ω)

lnW(jω)=lnR(ω)+jφ(ω)

часть завис. завис.

от АЧХ от ФЧХ

В качестве логарифмического масштаба оси частот используется lg ω.

lg2≈0.3 lg3≈0.5 lg5≈0.7

масштаб по осям нелинейный.

L(ω)=20 *lgR(ω)=20 *lg|W(jω)| (дБ)

L(ω)- построенная с использованием логарифмического масштаба частот- называется ЛАЧХ.

Стандартные наклоны используются при построении асимптотических ЛАЧХ.

Фазовая характеристика:

φ(ω), построенная с использованием логарифмического масштаба частот по оси абсцисс и обычного масштаба по оси ординат называется ЛФЧХ-логарифмической фазочастотной характеристикой.

21. Логарифмические характеристики разомкнутой одноконтурной системы.

В этой системе отсутствуют контуры местной ОС.

W₅(s)=W_2­(s)+W₃(s)

W(s)=W₁(s)∙W₅(s) ∙W₄(s) W(s)=-типовая форма ПФ разомкнутой одноконтурной системы.

W(j ω W)=R₁(ω)e^jφ1(ω)… R_n(ω)e^jφn(ω)_­=R_i(ω)e^jφ(ω)= R(ω)e^jφ(ω)

φ(ω)=φ_i(ω); R(ω)= R_i(ω) L(ω)=20lgR(ω)= L_i(ω)

L_i(ω)=20lgR_i(ω); i=1…n φ(ω)==argW(jω)= φ_i(ω

В системе может быть контур с местной ОС:

W(jω)=-

ПФ соединения с ОС

R(ω)=|W(jω)|=

L(ω)=20lgR(ω)=20lg|W₁(j ω)|-20lg|1+W₁(j ω)W₂(j ω)|=L₁(ω)-L_k^/(ω)

L₁(ω)=20lgR₁(ω)

L_k^/(ω)=20lg|1+W_k(jω)|, где W(j)=W(j ω)W(j ω).

L_k^/(ω)=

22. ЛЧХ типовых сомножителей

В качестве типовых рассматривают сомножители W₁(s)=k/s^ν; W₂(s)=(Ts+1)^m_{,= 0;1;2;…m=1;2;…}

W₃(s)=(T²s²+2ξTs+1)ⁿ, n=1;2;…

АФХ сомножителя первого типа

W₁(jω)=k/(jω)^ν;

где k- коэффициент усиления, ν- порядок астатизма

k>0; ν=0; ±1; ±2 показатель степени

1.W₁=30

L₁(l)=20 lg(30)=30 дB

W₂(S)=40/s²; 20lg40=32 дВ; ; ν=2

W₃(s)=30 *s; ν=-1

Если изменять K, то все прямые будут подниматься при увеличении K и опускаться при уменьшении K, не изменяя наклона.

б) Cомножитель второго типа имеет ПФ W₂(s)=(Тs+1)^m

T>0; m=±1; ±2;…

W₂(jω)=(1+jωT)^m=()^m∙е^{jm∙arctg(ωT)}

j=

L₂(ω)=20m∙lg(). Если задаваться частотой

ω € (0,), то выражение L₂(ω) определяет точную ЛАЧХ.

Вместо точной удобнее пользоваться асимптотической ЛАЧХ,составленной из отрезков асимптот.

1) Левая асимптота:

ω<1/T, (ωT)² «1

L_2а(ω)= 20m lg=0

2) Правая асимптота:

ω1/T, (ωT)² » 1

L_2b(ω)= 20m lg=20m lg(ωТ)- прямая с наклоном +20m дB/дек;

φ(ω)= m arctg(ωT).

ωT		0.5
aArc tg(ωT)		23030’	450	63030|	900

Точная ЛAЧХ L₂(ω) будет отличаться от асимптотической, | L_2a(ω)-L₂()|3m дВ

в) W₃(sS) = (T²sS²+2ξTsS+1)ⁿ; [T]=c; ξ- показатель колебательности, ξ € (0,1). Характеристическое уУравнение

T²sS²+2ξTsS+1=0

иИмеет корни s_1,2=-ξ ω₀±j ω_0, где ω₀=1/T.

где ω₀=1/T. При ξ>1 характеристический многочлен допускает разложение

T²sS²+2 ξTsS+1=(T₁sS+1)(T₂sS+1),

Где - 1/T₁, -1/ T₂ – вещественные корни характеристического уравнения. При ξ=1 => T₁=T₂. АЧХ

ξ=1 => T₁=T₂. АЧХ

W₃(ω) =

)ⁿ, ФЧХ

^φ₃(ω)= n arc tg. ЛАЧХ

L₃(ω)= 20n lg

^φ₃(ω)= n arc tg

при ω € (0, ) определяют точные ЛЧХ.

Асимптоты ЛАЧХ

L_3a(ω)= 20m lg 1=0 при ω<1/T; (ωT)²«1

L_3б(ω)= 40n lgω>1/T;

=40 n lg

ω>1/T; (

ωT)²»1

L₃(1/T)=20n lg(2ξ)

При построении ЛЧХ разомкнутой системы нужно:

1) Построить L(ω)=

2) φ(ω)= и построить график.

Правило построения асимптотической ЛАЧХ разомкнутой одноконтурной системы:

1. Определяются коэффициент усиления, порядок астатизма и все сомножители 2-го и 3-го типа (к, ν, m_k,n_k).

2. Для каждого сомножителя определяются сопрягающие чаислтоты:

mM_k=>ω_k=1/T_k; n_k=> ω_k=1/T_k - сопрягающие частоты, которые отмечают на оси ω.

ω_k1< ω_k2< …<ω_kN

3) Строится НЧ участок ЛАЧХ ω≤ω₁=min ω_k1

a) на частоте ω=1 cС^-1 откладывается ордината; 20 lgk.

Через полученную точку проводится прямая с наклоном -20 ν д Бб/дек.

Отрезок этой прямой в области НЧ является НЧ участком ЛАЧХ.

4) На каждой из сопрягающих частот наклонной прямой изменяется на 20m дБ/дек, если ω_к1 обусловлена сомножителем ->(ТsS+1)^m ,

Ллибо на 40n дБ/дек, если=> ω_к2 обусловлена сомножителем (Т² sS²+2ξTsS+1)ⁿ

5) При необходимости при малых ξ_k, в области сопрягающих частот, обусловле-н нных сомножителямиь 3-го типа, в асимптотическую ЛAЧХ вводят поправки..

Примеры:

1) W(s)=10/(2s+1)

W₁(s)=10/s⁰; k=10; ν=0;

ν=0

T=2c; ω=1/2=0,5 c^-1

2) W(sS)=

K=0.5; ν=-1; m=-2; T=0.01 c; 20lg0.5=-6 dB.

ω=1/Т=100 c

φ(ω)=π/2-2arctg(0.01ω)

3) W(sS)=

к=50; 20 lgk=34 дБ;

ν=1; ω₁=1/1.4=0.7 c^-1; ω₂=1/0.5=2 c^-1; ω₃=1/0.05=20 c^-1;.

T=0.05 c; ξ∙0.1=0.07=> ξ=0.7

Звено колебательное.

L(ω)≤-30 дб

φ(ω)=-π/2-arctg(1.4 ω)+arc tg(0.5ω)- arctg(0.07ω/(1-0.0025 ω²))-arctg(0.001ω).

Звенья САР.

23. Понятие о звене.

Систему рассматривают с физической точки зрения, как соединение элементов. Элементов, входящих в САР, достаточно много. При исследовании системы интересуются неи физическими свойствамиодержанием ее элементов, а прежде всего их ДУ элементов.

Число уравнений, которые описывают элементы, не так уж велико. Некоторые из уравненияй выбраны в качестве типовых. Так возникло понятие «звено»- как часть системы, описанное определенными типовым ДУ.

При делении модели системы на части-звенья может оказаться, что один элемент может описываться как одним звеном, так и или соединением нескольких звеньев. Не исключено, что однимо звеном можно представить и соединением нескольких элементов. Типовым ДУ соответствуют типовые звенья.

Типовые звенья:

Однозначных установок для обьявления звена типовым не существует. Одним из примеров может служить следующий перечень звеньев, взятых в качестве типовых:

1) Усилительное звено..

2) Апериодическое звено 1-го порядка.

3) Апериодическое звено 2-го порядка.

4) Колебательное звено.

5) Консервативное звено.

6) Идеальное дифференциальнорующеее звено.

7) Идеальное интегрирующее звено.

8) Звено запаздывания.

9) Неустойчивое звено 1-го порядка.

Рассмотрим подробно все характеристики этих звеньев.

24. Усилительное звено

.

Уравнение звена y(t)=kv(t), k- коэффициент усиления звена. Передаточная функция W(s)=k, wv(t)=L^-1{W(s)}=k∙δ(t) – ИПХ

W(S)=k

ω(t)=L^-1{W(S)}=k∙δ(t) – ИПХ

W(s)=k

h(t)=

Графики импульсной переходной и переходной характеристик показаны на рис.

АФХ: W(jω)=k; вещественная частотная характеристика U(ω)=k; мнимая частотная характеристика V(ω)=0. Логарифмические частотные характеристики показаны на рис.

25. Апериодическое звено 1-го порядка

.

Ty^/+y(t)=kV(t); k- коэффициент усиления

Т- постоянная времени. (Т>0)

Характеристическое уравнение имеет 1 корень:

TsS+1=0; sS₁=-1/T<0

ПФ: W(sS)=

ИПХ: W(t)= L^-1=ke^-t/T

ПХ: h(t)=(1-e^-t/T)

АФХ:

W(jω)=

U(ω) V(ω)

W(jω)=

φ(ω)=- arctg(ωT)

На комплексной плоскости АФХ имеет вид, показанный на рис.

ЛЧХ звена имеют вид

L(ω)=20lgk - 20lg

φ(ω)= -arctg(ωT)

26. Апериодическое звено 2-го порядка

Звено соответствует ДУ 2-го порядка.

T²y^//+2ξTy^/+y(t)=kV(t);

к- коэффициент усиления,.

Т- постоянная времени,.

ξ≥1 ξ- коэффициент колебанийтельности, ξ≥1.

.Характеристический многочлен допускает представление произведением 2-х сомножителей, т.е.

Т²sS²+2 ξTsS+1=(1+T₁sS)(1+T₂sS)

T₁T₂=T²; T₁+ T₂=2ξT; T₁>T­₂ (ξ=1, T₁=T₂)

ПФ: W(sS)=

ИПХ: W(t)=L^-1=

График переходной характеристики показан на рис.

АФХ: W(jω)=

ЛЧХ звена определяются выражениями

L(ω)=20lgk - 20lg20lg

φ(ω φ(ω)= -arctg(ωT₁) -arctg(ωT₂)

27. Колебательное звено

ДУ звена.

T²y^//+2ξTy^/+y(t)=kX(t); 0<ξ<1

Характеристическое уравнение

T²sS²+2ξTsS+1=0

Имеет комплексно- сопряженные корни

; sS_1,2=ω₀(-ξ±j),

где

ω₀=1/T- собственная частота колебаний.

W(sS)= -ПФ звена,

ИПХ: wω(t)=L^-1{W(tыS)}=

ω_д=- демпфированная частота демпфированных колебаний, дискретизации.

T_д=2π/ω_д

-период демпфированных колебаний.

Переходная характеристика

h(t)=L^-1{W(sS)}=k(1-

φ=arctg А₁/A₂=f(ξ) При ξ= 0.707 получается ПХ наилучшего вида, называемым техническим оптимумом.

W(jω)=

L(ω)=20lgk-20lg

А₁/А₂=f(ξ)

ξ=

28. Консервативное звено.

T²y^//+y(t)=kV(t) ξ=0

Характеристическое уравнение

ξ=0

T^2­sS²+1=0

; имеет чисто мнимые корни sS_1,2=±j

ПФ

W(sS)=

ИПХ

: wω(t)=L^-1{}=

ω₀=1/T

T₀=2π/ ω₀ ω=2 πT- период колебаний.

ПХ: h(t)==k(1-cosω₀t)

Частотные характеристики:

АФХ: W(jω)=

U(ω)= ; V(ω)=0

ЛЧХ: L(ω)=20lgk-20lg

φ(ω)=

U_y=

T²=LC

29. Идеальное дифференцирующееиальное звено.

T=y(t)

W(sS)=Ts

Звено является физически нереализуемым. Физически реализуют ПФS

W(sS)=

-cчитаемую как реальное дифференциальное звено.

T₂<<T₁

wω(t)=L^-1{TsS}=TL^-2{sS∙1}=T;wS^//(t)=T

δ(t)=- гГаусовская кривая

h(t)=T

W(jω)=jωT

-совпадает с положительным направлением мнимой оси.

L(ω)=20lg ωT; φ(ω)=π/2

-ЛЧХ звена. Их графики показаны на следующем рис.

30. Идеальное интегрирующее звено.

Уравнения интегрирующего звена винтегральной

а) y(t)=k_u

и б) Ty^/=V(t)

- дифференциальной формах. Характеристическое уравнение

TsS=0 имеет корень; sS=0. ПФ

W(sS)=K_u/sS; k_u=1/T; [k_u]=C^-1,

φ(ω)=-π/2

Из уравнений звена следует, что размерности входа и выхода звена одинаковы,т.е.

[V]=[y]; k=k_u

wω(t)=kL^-1{∙1}=k 1(t)

h(t)=

W(j ω)=k/(j ω)=-jk/ ω

L(ω)=20lgk-20lg ω

φ(ω)=-π/2

31. Звено запаздывания

я.

Уравнение звена

y(t)=V(t-τ₀); τ₀- время запаздывания

1. vV(t)=δ(t); y(t)=wω(t)= δ(t-τ₀)

2. h(t)=

3. W(sS)=L^-1{δ(t-τ₀)}= ==e^-sδτo

W(sS)= e^-sδτo- трансцендентная ПФ. Для преобразования её к дробно- рациональному виду используют конечные отрезки

Ее Разложение в рядразложений в ряд Паде.

4. АФХ W(jω)= =cosωτ₀=cos ωτ₀-jsin(ωτ₀).

R(ω)=1; φ(ω)=- ωτ_0.

L(ω)=20lgl=0; φ(ω)=- ωτ₀

32. Неустойчивое звено 1-го порядка.

Уравнение звена

Ty^/(t)--y(t)=kvV(t). (Ty^/-y=kV)

Харктеристическое уравнение TsS-1=0 имеет корень; sS₁=1/T; T>0. Соответственно

W(sS)=k/(TsS-1)-ПФ и ИПХ

wω(t)=L^-1{ k/(TsS-1)}= =(k/T)e^αt

α=1/T>0 Это звено неустойчивое.

Ty^/-y=0

Решение этого однородного ДУ

y_св(t)=y₀e^αt=> ∞; при t-->∞, если y₀

y₀≠0 => ∞; t-->∞

hL(t)=k(e^αt-1)

W(jω)=k/(j ωT-1)=-k/(1+ ω²T²)-j

φ(ω)€[-π;- π/2] –звено является неминимально-фазовым.

0< ω<∞

АЧХ звена
R(ω)=

совпадает с неминимально-е фазовоеовым апериодическим звеном.

Для min фазовых систем все корни, определенные сомножителями ПФ, имеют отрицательные вещественные части. Для min фазовой системы вид одной частотной характеристики определяет вид другой.

U(ω)óV(ω) Они связаны между собой преобразованием Гильберта.

L(ω)óφ(ω)

ЛАЧХ совпадает с ЛАЧХ апериодического звена.

φ(ω)=-π+arctg ωT

Анализ систем.

33. Анализ устойчивости.

В основе анализа устойчивости лежат интуитивные предпосылки устойчивости, которые переложены на математику.

Интуитивно определяют устойчивость положения равновесия определяют:путем анализа свободного движения системы, возникающего после отклонения системы из точки А равновесия в точкуВ. Следующие графики поясняют эти определения.

Уст. положение y(t)≡0 Неуст. положение y(t)≡0

y(t)≡. Положение равновесия 0 уст. нейтральноа.

В САУ интуитивных определений устойчивости недостаточно. Для этой цели приходится использовать более строгие математические понятия. Рассмотрим их подробнее. Предположим, что система описана ДУ

z^/=G(z,U) (1) z=, z€R_n G=,G€R_n; U€R_m

_m

G=, G€R_n; U€R_m

U=U(t)- известная векторная функция времени. Поэтому ДУ (1) можно рассматривать в виде

z^/=G₁(z,t) (2)

Предположим, что уравнение (2) имеет решение r(t), t€[0;∞] устойчивость которого надо исследовать.Его рассматривают как - невозмущенное решение при. r(0)=r₀.

Требуется определить устойчивость этого решения или, другими словами, невозмущенного движенияе устойчивости этой системы. Для определения устойчивости невозмущенного решения требуется исследование всех других решений системы (2), которые получаются при начальных условиях z₀, не равных начальным условиям, при которых получено невозмущенное решение. То-есть.

z(t), при z₀=z(t₀)≠r₀

Исследование всех решений системы (2) представляет собой концептуальную проблему, т. к. нелинейные ДУ не имеют общих методов решения. Поэтому применяются различные приемы, которые позволяют косвенно оценить эти решения.

1. Второй или прямой метод А. М. Ляпунова.

2. Линеаризованные уравнения- 1-ый метод А. М. Ляпунова.

34. Исследование устойчивости линеаризованных систем

Основные положения прямого метода Ляпунова:

Обозначим общее решение уравнения (2) в виде z(t)=r(t)+x(t).

x(t)- отклонение возмущенного решения z(t) от невозмущенного r(t).

Отклонения x(t) удобно представлять в виде приведенного уравнения.

(3)- приведенное уравнение системы.

M=G(r+x₁t)-G₁(r₁t)

M(0)=0

x(t)≡0- это решение соответствует положению авновесия в начале координатной системы.

Если приведенная система находится в начале координат, то исходная система совершает невозмущенное движение. Если положение равновесия в начале координат будет удовлетворять условиям устойчивости, то будет устойчивым и невозмущенное решение системы (2). Для положения равновесия в начале координат или для тривиального решения системы (3) Ляпуновым даны 3 определения:

1. нормы вектора

||x||

l_p=||x||_p, p=1,2,3…

||x||_p=

||x||₂=- длина вектора.

x(t)≡0

Тривиальное решение называется устойчивым, если для любого ε>0 найдется такая величина δ= δ(ε)>0, что ||x₀||< δ, ||x(t)||< ε, t€[0,).

Все решения, начинаясь в δ- области, не выходят за пределы δ-трубки.

2. Если тривиальное решение:

асимптотическая устойчивость

Если при асимптотической устойчивости величина δ не ограничена, то систему называют асимптотически устойчивой в целом.

3. Если для любого ε>0 найдется величина δ и хотя бы одно решение x(t)- для которого существует момент t=t₁, при котором ||x(t₁)||=ε, то тривиальное решение системы (3) неустойчиво.

x^/=H(x) (3)

Пусть H(x) можно представить в виде разложения.

H(x)=Ax+R(x) (4)

A=- матрица Якоби

R(x)€R_n- остаточный член разложения.

||R(x)||≤||x||^1+α; α>0,

Тто остаточным членом можно пренебречь и вместо уравнения (3) рассмотреть линеаризированное уравнение.

x^/=Ax (5) - уравнение первого приближения.

Общее решение уравнения (5): x(t)=e^Atx₀

Следующие 3 уравнениятеоремы Ляпунова позволяют связать устойчивость тривиального решения исходного (3) и приведенного (5) уравненияй.

det(sδI-A)=0, sS_i, i=1…n, I=diag1.

Матричный экспоненциал определяется корнями характеристического уравнения sS_i=sS_i(A)- собственныео значенияе (числа матрицы А)

1. Теорема (об устойчивости).

S_i, i=1…n, Re(S_i=S_i(A))<0, i=1…n

Тривиальное решение системы (5) асимптотически устойчиво в целом, а тривиальное решение системы (3) будет асимптотически устойчивым при малых отклонениях.

2. Теорема 2 (о неустойчивости)

Если среди корней характеристического уравнения S_i найдется хотя бы один S_k такой, что Res_k>0, то тривиальное решение системы (3) и cистемы (5) неустойчиво.

3. Теорема 3 (критический случай)

Если у характеристического уравнения все корни левые, за исключением одного нулевого или пары чисто мнимых корней, то тривиальное решение системы (5) устойчиво, не асимптотически, а об устойчивости решения системы (3) в этом случае судить нельзя, т. к. устойчивость зависит от членов, отбрасываемых при линеаризации.

sS_i=Ss_i(A), Res_i<0, i=1:n –условие теоремы 1; Res s_k, k- теорема 2;

sS_l=0; sS_k,k+1=±jβ_k,-условия теоремы 3.

При исследовании систем, в первую очередь, надо над обеспечениемть условия их ассимптотичнеской устойчивости. Это, т. е. все корни должны являеться необходимым условием работоспособности систем. Неустойчивые системы неуправляемые.

Определение устойчивости по местоположению корней характеристического уравнения

det(sSI-A)=a₀sSⁿ+a₁sS^n-1+…+a_n=0

на комплексной плоскости, вычисленных численно, Нахождение корней S_i, i=1…nможет привести к дает в весьма существенные погрешностями хода.

Корни с нулевой вещественной частью, расположенные на мнимой оси, за счет погрешностей вычислений, могут получить вещественную часть, либо положительную, либо отрицательную, или наоборот..

35. Критерии устойчивости.

Критериями устойчивости называют правила, позволяющие оценивать местоположение корней характеристического уравнения без их непосредственного вычисления. Для оценки местоположения эти критерии используют различные характеристики систем, тесно связанные с ее характеристическими уравненияеми.

Критерии:

1) аАлгебраические;

2) частотные.

Исходя из модели системы эти критерии можно интерпретировать следующим образом:

Пусть W(sS)=

B(sS)=b₀sS^m+ b₁sS^m-1+… +b_m;

­D(sS)=d₀sSⁿ+ d₁sS^n-1+… +d_n.

Уравнение D(sS)=0- характеристическое уравнение разомкнутой системы.

Для исследования устойчивости используют корни характеристического уравненияй замкнутой системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы:

Д(sS)=D(sS)+B(sS)=0 является знаменателем ПФ

Ф(sS)= .

Д(sS)=a₀sSⁿ+ a₁sS^n-1+…+a_n

Алгебраические критерии устойчивости:

1) Критерий Рауса.

2) Критерий Гурвица.

3) Критерий Льюенара-Шипара.

Частотные критерии:

1) Критерий Михайлова

Д(jω)=Д(sS), s=S(jω, ] –годограф характеристического многочлена.)

2) Критерий Найквиста

W(jω)=W(sS), sS= jω, ] –АФХ разомкнутой системы и условия её устойчивости..

3) Логарифмический критерий устойчивости. Это критерий Найквиста, но вместо АФХ используются ЛЧХ.

1. Критерий Гурвица:

W(sS)=

B(sS)=

Д(S)=D(S)+B(S)=a₀Sⁿ+ a₁S^n-1+…+a_n

Формирование матрицы Гурвица.

Гr=

1. a_i>0, i=1…n

2. Рассмотрим диагональные миноры

Δ_i, i=1…n Δ_n=a_n Δ_n-2

Δ_i>0; Δ_i- определители Гурвица.

Пусть n=3, тогда характеристическое уравнение:

Д(S)=а₀S³+ а₁S²+ а₂S+ а₃

Г=

Условие устойчивости:

Δ_i=a₁>0

Δ₂=a₁a₂-a₀a₃>0

Δ₃=a₃∙ Δ₂

a_i>0, i=0…n

При n=4:

Г=

Если изменять параметры системы так, чтобы она из устойчивой превратилась в неустойчивую, то при таком изменении первым обращается в 0 Δ_n-1:

Δ_i>0; Δ_n-1=0; Δ_n-1<0

Критерий Льенара-Шипара:

n- четное- проверяются все нечетные определители Δ_2i-1: i=1…n/2

n- нечетное- проверяются все четные определители Δ_2i: i=1…(2n-1)/2

Определение критического коэффициента усиления разомкнутой системы:

Δ_i>0; i=1…n-2

Δ_n-1=0 при k=k_кр

Все определители до n-2 должны быть положительными, а Δ_n-1=0.

Все эти определители должны давать 2 типа неравенств:

а) k>k_кр, Δ_n-1<0- система неустойчива

k<k_кр, Δ_n-1>0- система устойчива

б) k_кр1 <k<k_кр2, Δ_n-1>0- система устойчива

k(k_кр1, k_кр2), Δ_n-1<0- система неустойчива.

Пример:

Пусть разомкнутая система имеет вид:

W(S)=

Определим для нее возможные значения k_кр, используя исследования устойчивости, вытекающие из критерия Гурвица. Характеристический многочлен замкнутой системы:

Д(S)=0.25S³+0.8S²+(1+0.1k)S+k=0

Г= Δ₁=0.8>0

Δ₂=0.8(1+0.1k)-0.25k=0

k_кр=0.8/0.17≈5

k>k_кр- неустойчивое; k<k_кр- устойчивое.

ПФ разомкнутой системы включает в себя звенья запаздывания. В этом случае характеристическое уравнение будет иметь не конечное, а бесконечное число корней. Чтобы ограничиться конечным числом корней надо использовать разложение e^Sro в ряд Падэ, либо использовать критерии, которые не критичны к числу корней характеристического уравнения. Одним из таких критериев является критерий Найквиста.

2. Критерий Найквиста.

Он используется для анализа устойчивости систем с единичной ОС, основываясь:

а) на устойчивости разомкнутой системы

б) на виде АФХ W(jω) разомкнутой системы

ПФ замкнутой системы: Ф(S)=

АФХ замкнутой системы: Ф(jω)=

Устойчивость будет определяться нулями функции: 1+W(S)

Пусть W(S)=

D(S)=d₀Sⁿ+d₁S^n-1+…+d_n=d₀(S-S₁)…(S-S_n)- характерный многочлен разомкнутой системы.

Характерный многочлен замкнутой системы:

Д(S)=D(S)+B(S)=a₀ (S-S₁)…(S-S_n)=a₀Sⁿ+ a₁S^n-1+…+a_n

Для анализа устойчивости замкнутой системы рассматривают угол поворота вектора или вспомогательной функции f(jω)=1+W(jω) при ω[0;∞)

Угол поворота можно описать как Δargf(jω), ω[0,∞)

Так как f(jω) есть отношение векторов, то ее можно представить:

f(jω)=

Δargf(jω)= ΔargД(jω)- ΔargD(jω)

ω[0,∞); ω[0,∞) ω[0,∞)

1 Случай, когда в характеристическом уравнении разомкнута система:

D(S)=d₀(S-λ₁)…(S- λ_n)=0

q- корней λ_i имеет положительные вещественные части Re λ_i>0.

(n-q) корней λ_i имеют отрицательные вещественные части Re λ_i<0, а в характеристическом уравнении замкнутой системы:

Д(S)=a₀ (S-S₁)…(S-S_n) все n корней части S_i, I=1…n имеют отрицательные вещественные части ReS_i<0.

Условие устойчивости этой системы в замкнутом состоянии:

Δargf(jω)= n-[(n-q)+q(-)]=qπ=2π

Если q=0, то система устойчива, если Δargf(jω)=0

ω[0;∞)

Условие будет выполнено, если годограф f(jω) не охватывает начало координат (граф. 1).

Если годограф охватывает начало координат, то угол оборота не равен 0 и система неустойчива (граф. 2).

От плоскости f(jω) можно перейти к плоскости W(jω), если сместить начало координат на 1. Точка о переходит в точку (-1;j0).

Точка с координатами (-1,j0) называется критической.

Если система устойчива в разомкнутом состоянии q=0 и ее АФХ не охватывает критическую точку, то система в замкнутом состоянии устойчива. Если же охватывает критическую точку, то система в замкнутом состоянии неустойчива. (кривая 2^/).

Таким способом можно определить замкнутую систему для статической системы- когда ν=0.

В общем случае ν=0,1,2,3 и для этих случаев АФХ начинается в бесконечность ν=1: “-j∞”; ν=2: “-∞”; ν=3: “j∞”

Для анализа устойчивости надо исследовать АФХ при малых изменениях ω[-0;0₊]. В этом случае Δarg=-νπ/2

ω[-0;0₊]

Система 1 не охватывает 1, j0, она устойчива. Система 2 охватывает критическую точку, она неустойчива.

Для ν=2

Система 1 устойчива

Система 2- неустойчива

ν=3

Система 1 в замкнутом состоянии устойчива.

Система 2- неустойчива.

Если разомкнуть систему устройства и ее АФХ огибает критическую точку (-1;j0) снизу, то в замкнутом состоянии система устойчива. Если это условие нарушено- АФХ огибает критическую точку сверху, то в замкнутом состоянии система неустойчива.

2) q>0, система не минимально фазовая. В этом в случае надо использовать любое условие, подтверждающее, что Δargf(jω)=qπ

ω[0;∞)

Преимуществом критерия Найквиста является то, что в окончательной формулировке фигурирует лишь устойчивость разомкнутой системы и вид АФХ, т. е. устойчивость систем можно определить по экспериментально снятой АФХ разомкнутой системы безо всякой кК аппроксимации. Это позволяет анализировать устойчивость системы, содержащей звенья запаздывания.

Другим достоинством является то, что он позволяет ввести меру устойчивости. Мера устойчивости выступает, в этом случае, как запасы устойчивости.

36. Запасы устойчивости

Запасы устойчивости x-ют степень удаления АФХ от критической точки при огибании ее снизу и выступают в виде:

1) запас по модулю (амплитуде)

2) запас по фазе.

Эти понятия вытекают из условия существования незатухающих колебаний в системе с ОС.

Пусть на входе разомкнутой системы в виде рассогласования возникает сигнал asinω_Пt. На выходе сигнал a_уsin(ω_Пt-π). По цепи ОС он инвертируется и становится asin(ω_Пt-2π). Если а_y=W(jω_П­)-а=а, то амплитуда будет оставаться неизменной, получим генератор гармонических колебаний. Условие:

В системе, в которой выполняется баланс амплитуд и фаз, АФХ проходит через критическую точку. В этом случае в характеристическом уравнении имеется пара чисто мнимых корней.

Система, имеющая определенный запас устойчивости должна иметь АФХ следующего вида:

1) Для определения запаса устойчивости по фазе проводится окружность единичного радиуса с центом в начале координат. В точке пересечения этой окружности с АФХ частота равна частоте среза:

ω= ω_с R(ω_c)=|W(jω_c)|=1

φ(ω_с) будет определяться углом.

Угол γ=π+φ(ω_с)>0 называется запасом устойчивости по фазе.

2) Запас по модулю определяется исходя из точек АФХ с частотами ω_π2 и ω_π3, ближайшие к критическим. Эти точки являются решением уравнения φ(ω)=-π; ω_π1; ω_π2; ω_π3.

W(jw_П2)=-H; H>1

W(jw_П3)=-h; h<1

Запас устойчивости по модулю (амплитуде) будет определяться min-ой из точек

min(H;1/h)

Чем ближе эти величины к 1, тем меньше запас устойчивости.

Пример:

W(S)=k/S (1) g=90⁰ óp/2

W(S)= (2)

37. Анализ влияния коэффициента усиления разомкнутой системы на устойчивость замкнутой системы.

1) W(S)=k·W₀(jω)

ν=0

W₀(j0)=1

При увеличении коэффициента усиления система может из устойчивой превратиться в неустойчивую. Это произойдет при k>k_кр.

Такая АФХ называется АФХ I рода.

k<k_кр R(ω_П; k_кр)=1

система устойчива φ(ω_П)=-π

k>k_кр- система неустойчива.

2) АФХ II рода

При увеличении k ω_πi+1 →-1, j0

При уменьшении k ω_πi→-1, j0

Для такой системы может быть несколько k_кр. Условие устойчивости k_крi< k< k_крi+1 - система устойчивая.

3) При любом k охватывают точку системы, которые неустойчивы при любом k>0 называется структурно-неустойчивыми.

Для этих систем φ(ω)<-π

ω[0;∞)

Без введения корректирующих устройств обеспечить устойчивость таких систем нельзя. После коррекции структурно неустойчивой система становится обычной системой. В обычных системах увеличение коэффициента усиления приводит к увеличению запаса устойчивости.

38. Логарифмический критерий устойчивости

Является видоизмененным критерием Найквиста, когда вместо АФХ разомкнутой системы используется ЛЧХ этой системы. Условие устойчивости вытекает из аналогии между АФХ и ЛЧХ.

R(ω_C)=1 ó L(ω_C)=0

Для рассматриваемой характеристики ω_C< ω_π; R(ω_π)=h<1 L(ω_π)<0

Запас устойчивости по фазе будет дополнением φ(ω_С) до уровня π. Запас устойчивости по амплитуде ΔL=/L(ω_π).

Если изменять коэффициент усиления, то L(ω) будет поступательно подниматься при увеличении k и опускаться при его уменьшении.

k= k_кр, когда ω_С= ω_П- граница устойчивости.

Таким образом, условие устойчивости: ω_С< ω_П

γ, ΔL- запасы устойчивости.

ω_С=ω_П- граница устойчивости: γ=0; ΔL=0

ω_С>ω_П- условие неустойчивости.

Рассматриваемые критерии устойчивости предполагают, что определение характеристик систем не вызовет дополнительных вычислений, что характерно для моделей вх-вых.

Несколько иная ситуация возникает, если для описания системы используется уравнение состояния.

39. Определение устойчивости при описании систем в пространстве состояний.

Предположим, что имеется замкнутая система, которая будет определяться выражением:

Матрицы А, В, С,D- матрицы соответствующих размеров yR_l. Если использовать критерии Гурвица, то ею непосредственное использование будет связано со следующим вычислением:

1) Нахождение корней характеристического уравнения

det(SI-A)=0 через коэффициент матрицы А.

a₀Sⁿ+a₁S^n-1+…+a_n=0

Вычисление определителя сопрягается, значит погрешность, а корни уравнения степени n>10. Чрезвычайно чувствительны к изменению коэффициентов.

2) Условие устойчивости Δ_i>0, i=1…n-1 не дает однозначного ответа при приближенных вычислениях. Если же анализировать устойчивость по корним характеристического уравнения, то необходимо вычислить det(SI-A)=0 и найти коэффициенты a_i