Если ряд сходится и сходитсяряд , а их суммы равны S1 и S2

Ряд расходится, если q1.

Свойства рядов.

1). Если ряд a₁+a₂+a₃+… = сходится и его сумма равна S, то и ряд

ca₁+ca₂+ca₃+… = сходится и имеет сумму cS, где с -произвольное число.

Если ряд расходится и с≠0, то и ряд расходится.

соответственно,то сходятся и ряды ,при чем сумма каждого равна

соответственно S1± S2.

3). Если к ряду прибавить или отбросить конечное число элементов, то

полученный ряд и данный ряд сходятся или расходятся одновременно.

§2.Необходимый признак сходимости ряда.

Нахождение n-й частичной суммы S_n и ее предела для произвольного ряда во

многих случаях является непростой задачей.Поэтому для выяснения сходимости

ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них,как

правило, является необходимый признак сходимости.

TEOРEMA. Если ряд сходится,то его общий элемент a_n стремится к нулю,т.е. a_n=0.

Обратное утверждение не верно.

ДОК-ВО. Пусть a_n сходится и S_n=S. Тогда и S_n-1=S (при n →∞ и (n-1) →∞). Учитывая,что a_n=S_n-S_n-1 при n > 1,получаем a_n=(S_n-S_n-1) = S_n-S_n-1=S-S=0.

СЛЕДСТВИЕ. (Достаточное условие расходимости ряда)

Если a_n≠0 или этот предел не существует,то ряд расходится.

ДОК-ВО. Действительно,если бы ряд a_n сходился, то по теореме a_n=0. Но это противоречит условию,значит ряд расходится.

Замечание. Для определения сходимости ряда не достаточно доказать,что a_n=0.

Это означает,что существуют расходящиеся ряды,для которых a_n=0.

Итак,

▲ Если a_n≠0, ряд a_n расходится.

▲ Если a_n=0, необходимо дополнительное исследование для определения:

Дата добавления: 2014-01-15