Ряд an сходится или расходится

ПРИМЕРЫ

Ряд Заключение

Расходится

Необходимо доп. исследование

Необходимо доп. исследование

Расходится

§3.Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

1 ). I Признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда

a₁+a₂+a₃+...+a_n+... (3.1)

b₁+b₂+b₃+...+b_n+... (3.2)

TEOРEMA. Если для всех n выполняется неравенство

0 ≤ a_n ≤ b_n (n=1,2,3…) (3.3)

то из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1),

из расходимости ряда (3.2) следует расходимость ряда (3.1).

ПРИМЕР. Ряд 1+1/2²+1/3³+1/4⁴...1/nⁿ+... сходится,поскольку его элементы меньше, чем соответствующие элементы ряда 1+1/2²+1/2³+1/2⁴...1/2ⁿ+...,который является геометрическим рядом с q=(1/2)<1 начиная со второго элемента.Сумма его равна 1: S_n =1+ .

Ряд сходится и сумма его S_n= 1.

Или используем b_n=1/2ⁿ (геом.ряд с q<1).Находим элементы ряда:

a_n =1/nⁿ b_n=1/2ⁿ

a₂=1/2²=0,25 b₂=1/2²=0,25

a₃=1/3³=1/27=0,037 b₃=1/2³=1/8≈0,125

a₄=1/4⁴=1/256=0,004 b₄=1/2⁴=1/16≈0,062

a_n ≤b_n, ∑b_n сходится,следовательно ∑a_n сходится также.

Дата добавления: 2014-01-15