Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

Не всегда уравнение вида

(5.35)

удается разрешить относительно производной, то есть записать в виде . Пусть уравнение (5.35) разрешимо относительно (или ):

. (5.36)

Введем параметр

. (5.37)

Тогда из уравнения (5.36) получаем

.

Теперь продифференцируем обе части уравнения по :

Учитывая (5.37), получаем

(5.38)

Общее решение уравнения (5.36) находится из системы

(5.39)

Примером уравнений, не разрешенных относительно производной, являются уравнения Лагранжа:

и уравнения Клеро: .

Уравнение Клеро есть частный случай уравнения Лагранжа.

Пример. - уравнение Лагранжа. Сделав замену , получим уравнение . Продифференцировав обе части по , получаем: . Отсюда: . Следовательно, или . Если , то . Другое решение уравнения находим из системы , исключая параметр :

.

Дата добавления: 2014-01-15