Вычисление интегралов формулы Мора в матричной форме в случае произвольных подынтегральных функций

В одиннадцатой лекции (см. Крамаренко А.А. Лекции по строительной механике стержневых систем. Ч. 2. Статически определимые системы: Курс лекций / А.А. Крамаренко. – Новосибирск: НГАСУ, 2002. – п. 11.4) было отмечено, что определённые интегралы всех членов формулы Мора

имеют одинаковую структуру и в обобщённой форме могут быть представлены следующим образом:

. (13.1)

Здесь Ф_ik(s) – общее представление функций внутренних усилий М_ik(s), Q_ik(s), N_ik(s) от единичного фактора, приложенного в направлении определяемого перемещения; Ф_Fk(s) – представление функций внутренних усилий М_Fk(s), Q_Fk(s), N_Fk(s) от заданного силового воздействия; T_k(s) – представление функций, описывающих изменение жесткостей поперечных сечений EJ_k(s), GA_k(s), EA_k(s) и параметра k_tk вдоль оси k-го грузового участка.

Численное значение определённого интеграла (13.1) можно получить по формуле Симпсона в матричной форме

(13.2)

В соотношении (13.2):

; ; ;

;

– матрица, транспонированная по отношению к матрице Ф_ik; – значение функций, входящих в подынтегральное выражение (13.1) в начале интервала; – в середине; , – в конце интервала (рис. 13.2); Т₀ – некоторое произвольное число.

Матричная трактовка формулы Симпсона (13.2) позволяет вычислить перемещения от силового воздействия с любой предварительно заданной точностью.

В частном случае, когда T_k(s) = const = T_k, соотношение (13.2) перепишется:

(13.3)

Так как , то приняв Т₀ = Т_k, в этом случае получим:

.

Значение определённого интеграла (13.3) будет точным, если подынтегральная функция будет представлять собой алгебраический полином степени не выше третьей (например, когда определяются линейные и угловые перемещения отдельных сечений и узлов стержневых систем от силового воздействия, включающего сосредоточенные силы и моменты, а также равномерно распределённые нагрузки). Если же силовое воздействие содержит распределённые нагрузки с переменными интенсивностями, то матричная формулировка формулы Симпсона и в случае, когда T_k(s) = const даёт приближённое значение определённого интеграла (13.3).

13.3. Вычисление интегралов формулы Мора в матричной форме в случае линейных подынтегральных функций Ф_ik(s), Ф_Fk(s)

В п. 13.2 упоминалось, что численное значение определённого интеграла (13.1) можно получить в матричной форме (13.2)

Учитывая линейность функций Ф_ik(s) и Ф_Fk(s), их значения при s = 0,5ℓ_k и выразим через и при s = 0 и и при s = ℓ_k (рис. 13.3).

;(13.4)

С учётом зависимостей (13.4) матрицы выражения (13.2) и Ф_Fk перепишутся:

. (13.5)

Принимая во внимание соотношения (13.5), определённый интеграл выражения (13.2) в матричной форме представим следующим образом:

Вычислив произведение трёх центральных матриц, получим:

(13.6)

В формуле (13.6):

В случае, когда T_k(s) = const = Т_k, т.е. когда = = = , при Т₀ = T_k матрица Р_k примет вид:

.

Наконец, при Ф_ik(s) = const = Ф_ik, Ф_Fk(s) = const = Ф_Fk, T_k = const определённый интеграл соотношения (13.3) вычисляется наиболее просто.

, (13.7)

где .

В этой ситуации для k-го участка все матрицы формулы (13.7) формируются из одного элемента.

Дата добавления: 2014-01-15