Определение перемещений от температурных воздействий

В двенадцатой лекции (см. п. 12.2, часть 2 настоящего курса лекций) получена формула для определения перемещений от изменения температуры в статически определимых плоских стержневых системах

. (13.19)

По-прежнему будем считать постоянными на любом участке сооружения величины коэффициента линейного температурного расширения материала a_k, высоты поперечного сечения h_k и приращения температуры . Эпюры внутренних усилий M_ik(s) и N_ik(s) на участках, где происходит изменение температуры, при определении линейных и угловых перемещений сечений и узлов стержневой системы от единичных сосредоточенных сил и сосредоточенных моментов линейны.

Определённые интегралы соотношения (13.19) имеют одинаковую структуру и для k-го участка могут быть записаны в обобщённой форме:

. (13.20)

Здесь L_tk(s) – представление линейных функций изгибающих моментов M_ik(s) и продольных сил N_ik(s); – представление постоянных физических и геометрических характеристик участка a_k и h_k, T_k – постоянных неравномерных и равномерных приращений температуры (рис. 13.7).

Определённый интеграл (13.20) вычислим по формуле Симпсона, принимая во внимание, что = const, T_k = const,

. (13.21)

Учитывая линейность функции L_tk(s), получим:

. (13.22)

Обозначим ℓ_k = B_tk и подставим зависимость (13.22) в соотношение (13.21). После несложных преобразований получим точное численное значение определённого интеграла (13.20).

(13.23)

Формула (13.23) по существу есть представление численного значения определённого интеграла (13.20) в виде произведения трёх матриц первого порядка, т.е. в матричной форме. С учётом всех участков, где происходит изменение температуры, формула (13.19) для определения перемещений в матричной форме запишется:

. (13.24)

В матричном соотношении (13.24) D_t – матрица перемещений от температурных воздействий. Количество её строк равно количеству определяемых перемещений n, а столбцов – числу вариантов температурных воздействий f.

Матрица L_t – это матрица внутренних усилий (изгибающих моментов и продольных сил) от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений.

, где L_tj = .

Для k-ых участков, где задано изменение температуры = const, элементы блоков M_tj и N_tj фиксируются в срединных сечениях этих участков.

Матрица B_t называется матрицей температурной податливости сооружения и состоит из двух блоков: B_tn,r – податливости, определяемой неравномерным приращением температуры, и B_t,0 – равномерным приращением температуры.

.

В случае, когда для k-го участка изменения температуры a_k = const, h_k = const, имеем:

.

Наконец, Т – это матрица приращений температуры по вариантам воздействий.

T = [T₁ T₁ … T_j … T_f], где .

T_nr,j и T_0,j, соответственно, – подматрицы неравномерных и равномерных приращений температур j-го варианта температурного воздействия. Элементами этих матриц на k-ом участке изменения температуры являются перепады приращений температур по высоте поперечного сечения и приращения температуры в центре тяжести поперечного сечения .

Пример 13.5.1. Стержни трёхшарнирной рамы с затяжкой (рис. 13.8,а) имеют прямоугольные поперечные сечения, причём высота этих сечений для горизонтальных элементов равна 50 см, для вертикальных – 30 см. Материал, из которого изготовлена рама, имеет коэффициент линейного температурного расширения материала a = 12×10^-6 1/°С. Первым воздействием на раму будем считать снижение наружной температуры на = -40 °С, вторым – повышение температуры внутри заданного контура на = 60 °С (рис. 13.8,а). От каждого из этих воздействий требуется определить горизонтальное перемещение узла С и угол поворота сечения "к", т.е. требуется вычислить элементы матрицы перемещений

.

Для решения задачи используем матричное соотношение (13.24)

.

1. Вычисление перепадов приращений температур и приращений температуры на уровне центров тяжести поперечных сечений элементов рамы от каждого воздействия отдельно. На рис. 13.8,б,в графически, в виде эпюр, показано изменение этих величин, являющихся элементами матрицы Т, вдоль всех участков, где происходит изменение температуры. Ординаты эпюры T_nr откладываются со стороны более "тёплых" волокон, а на эпюре Т₀ фиксируется знак "плюс" в случае положительных приращений температур на уровне центров тяжести поперечных сечений и знак "минус" – в случае отрицательных приращений температур.

2. Построение эпюр изгибающих моментов М₁, М₂ и продольных сил N₁, N₂ от единичных факторов, приложенных в направлении искомых перемещений, и вычисление ординат в средних сечениях участков указанных эпюр с линейным характером изменения (рис. 13.9,а,б).

3. Нумерация участков, где происходит приращение температуры и где эпюры М₁, М₂, N₁, N₂ имеют линейный характер, а также срединных сечений этих участков (рис. 13.8,г).

4. Формирование матриц L_t, T и B_t. Элементами матрицы L_t являются изгибающие моменты М_t и продольные силы N_t (см. эпюры М₁, М₂, N₁, N₂ на рис. 13.9,а,б), а элементами матрицы Т – перепады приращений температур по высоте поперечных сечений T_nr и приращение температур на уровне центров тяжести поперечных сечений Т₀ на участках, показанных на рис. 13.8,г (см. рис. 13.8,б,в).

Матрица температурной податливости B_t является диагональной и состоит из блоков B_t,nr и B_t,0, характеризующих податливость, определяемую, соответственно, неравномерными и равномерными приращениями температуры.

=

;

;

;

.

.

5. Вычисление требуемой матрицы перемещений.

.

Таким образом, горизонтальное перемещение узла С от снижения наружной температуры на = -40 °С составит = 0,0278 м = 2,78 см, а от повышения температуры внутри замкнутого контура на = 60 °С – = 0,0192 м = 1,92 см. Указанное перемещение происходит по направлению действия сосредоточенной силы F = 1 (см. рис. 13.9,а). Угол поворота сечения "к" от вышеупомянутых воздействий равен, соответственно, = -0,0036 рад и = -0,0048 рад. Отрицательные значения величин и означают, что поворот сечения "к" от заданных изменений температуры совершится против часовой стрелки, т.е. в направлении, противоположном действию сосредоточенного момента М = 1 (рис. 13.9,б).

Дата добавления: 2014-01-15