Приклад. Розв’язати рівняння

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Винісши корінь четвертого степеня за дужки і виконавши відповідні перетворення, дістанемо:

, , , .

.

Ø Виносимо за дужки і виконуємо перетворення:

, .

Остаточно маємо:

, , , .

5.8. Рівняння з кубічними ірраціональностями

Розглянемо ірраціональне рівняння виду

. (1)

Піднесемо обидві частини рівняння до куба:

.

Спростимо здобуту рівність, скориставшись (1):

. (2)

Підносимо обидві частини рівняння (2) до куба:

.

Якщо рівняння (1) має корінь, то він є і коренем рівняння (2). Проте рівняння (2) може мати корінь, який не є коренем рівняння (1).

Позначимо , , .

Тоді рівняння (2) набере вигляду

.

Це рівняння відрізняється від рівняння (1), яке, скориставшись тими самими позначеннями, можна записати у вигляді . Якщо рівняння (2) має корені, які не задовольняють рівняння (1), тобто сторонні щодо нього, то вони є коренями таких рівнянь:

, , ,

або, у початкових позначеннях:

; , . (3)

Отже, якщо при рішенні розв’язуванні (2) з’явилися сторонні корені, то вони задовольняють систему рівнянь (3).

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Підносимо обидві частини рівняння до куба і виконуємо відповідні перетворення

; .

Остаточно маємо: , .

Цей корінь не задовольняє дане рівняння, але є коренем систе­ми рівнянь виду (3):

; , .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Підносимо рівняння до куба за формулою (2):

,

; ; .

Корінь не задовольняє рівняння, але задовольняє систе­му рівнянь:

; ; .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø За формулою (2) знаходимо:

,

, , .

Перевірка показує, що корінь — сторонній.

5.9. Заміна радикалів новими невідомими

Основним способом розв’язування складних ірраціональних рівнянь є заміна кожного радикала новим невідомим. Це дає змогу звести ірраціональне рівняння до системи алгебраїчних рівнянь.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Позначивши

, ,

дістанемо систему алгебраїчних рівнянь

Передусім виключаємо невідоме :

Звідси знаходимо розв’язки , , .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Позначимо радикали:

Рівняння зводиться до системи рівнянь:

Насамперед виключаємо невідоме :

.

Дістанемо рівняння

,

яке розкладається на множники:

.

Розв’язуємо рівняння:

Корінь не задовольняє рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Уводимо позначення:

Рівняння зводиться до системи рівнянь

Розкладаємо перше рівняння на множники:

.

Розв’язуємо рівняння:

1) ;

2) , .

5.10. Уведення параметра

Ірраціональні рівняння так само, як алгебраїчні, можна роз­в’язувати ввведенням допоміжного параметра [2], що значно спрощує розв’язування.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Запишемо рівняння у вигляді

.

Заміна зводить рівняння до вигляду

.

Уводимо параметр , вважаючи .

Дістанемо ірраціональне рівняння з параметром:

, .

Маємо квадратне рівняння відносно :

.

Знаходимо розв’язки:

, .

Для відшукання розв’язуємо такі рівняння:

, , ;

, , .

Звідси знаходимо значення :

, , , .

Корені , — сторонні.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Уводимо параметр . Дістаємо рівняння

, .

Звільняючись від ірраціональності, маємо:

,

, .

Підставляючи значення , дістаємо:

, , ;

, , .

Задовольняють рівняння лише корені .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Знаходимо ОДЗ:

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата:

;

; ;

, , , .

Корінь не входить в ОДЗ. Якщо , то . Знайдемо значення , при яких маємо корінь . Підставимо у вихідне рівняння

;

, ; .

Остаточно маємо: при ; при .

5.11. Рівняння з модулями

Рівняння з модулями близькі до ірраціональних рівнянь, оскільки

. (1)

Звичайно використовують означення модуля х:

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Згідно з умовою дістаємо рівняння . Якщо , то , .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Знайдемо точки, в яких модулі перетворюються на нуль:

, ; , .

Ці точки розбивають числову вісь на частини, в кожній з яких вирази під знаком модуля мають один і той самий знак.

1) ; , ;

2) ; , — маємо тотожності;

3) ; , .

Остаточно дістаємо .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Знайдемо точки, де , , . Розглянемо всі можливі випадки:

1) , , ;

2) ; , ;

3) ; , .

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Ø Розглянемо всі можливі випадки.

1) , :

. Знайшли розв’язок системи.

2) , :

. Розв’язок не задовольняє умову.

3) ,

. Розв’язок не задовольняє умову.

4) ,

. Знайшли розв’язок системи. ×

З формули (1) випливають правила внесення (винесення) множників під знак радикала:

. (2)

Якщо множник вноситься під радикал, то знак множника залишається поза радикалом.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Помножимо обидві частини рівняння на , .

.

Розглянемо можливі випадки.

1. . Вносимо додатний множник під знак радикала:

, , ,

, . ; , .

Корінь не задовольняє умові. Остаточно маємо .

2. . Вносимо від’ємний множник під знак радикала за формулою (2):

, , , , .

, , . Корінь не задовольняє умову. Остаточно маємо: .

5.12. Системи ірраціональних рівнянь

Системи двох ірраціональних рівнянь дуже різноманітні, і тому важко знайти загальні способи їх розв’язування. Зазвичай намагаються виключити одне невідоме й дістати одне рівняння з одним невідомим.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Ø Позначимо , , , .

Із системи рівнянь знаходимо

1) , , , ;

2) , , , .

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Ø Позначивши , , дістанемо систему рівнянь:

Розв’язуємо системи рівнянь:

1) ;

2) .

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Ø Підносимо обидві частини кожного рівняння до квадрата:

.

Розв’язуємо рівняння:

, , ,

, , , .

1. Як знаходять ОДЗ?

2. Як розв’язати рівняння з кубічними ірраціональностями?

3. У чому полягає заміна радикалів новими невідомими?

4. Як розв’язати рівняння з модулями?

5. Як розв’язати однорідне рівняння?

Розв’язати рівняння на ОДЗ (1 — 6). Відповідь

1. . – 6

2. . Æ

3. . 4

4. . 1

5. . 3

6. . Æ

Піднесення обох частин рівняння до квадрата (7—11)

7. . – 1

8. .

9. .

10. .

11. . 3

Метод заміни (12—26)

12. . 7

13. .

14. . 5

15. . 1; 4

16. . Æ

17. .

18. . – 1

19. . – 7; 2

20. . 1

21. . –6; 3

22. . 1

23. . 2

24. . 27

25. . 2; 3

26. . 4

Виділення повного квадрата (27—35)

27. .

28. . –2; 0

29. . Æ

30. .

31. . 5

32. .

33. .

34. .

35. . 2

Множення на спряжений вираз (36—40)

36. .

37. .

38. . Æ

39. .

40. . 4

Розв’язати різні ірраціональні рівняння (41—75)

41. . – 1

42. .

43. . – 2; –1; 2

44. . 1; 2; 3

45. . 6

46. .

47. .

48. .

49. . 5

50. .

51. . 3

52. . 1

53. . 2; 9

54. . 2

55. . 7; 38

56. .

57. . 7

58. .

59. .

60. .

61. . – 2; – 4

62. .

63. . 1

64. . Æ

65. . Æ

66. . 31

67. . 81

68. . 0; 7

69. . – 3,2; 3

70. . – 1

71. . – 1; – 3

72. . 3; – 24; – 88

73. . 1; 2; 10

74. . 8

75. . 3

Розв’язати систему рівнянь (76 — 90)

76. .

77. .

78. . 6; 10; 10; 6

79. . 1; 4; 4; 1

80. . 1; 8; 8; 1

81. .

82. . 5; 3

83. . 5; 4

84. . 0; 0

85. . 1; 1; 1

86. . 5; 3; 5; 4

87. .

88. . – 4; 5; 3

89. . 4; 1; 1; 4; – 4; – 1; – 1; – 4

90. . 11; 1

Дата добавления: 2014-01-11