Основные понятия математической статистики

Основными характеристиками полученных результатов исследования являются средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонение, которые позволяют обобщить данные, сравнить их, установить преимущества одной психолого-педагогической системы над другой.

Средняя арифметическая представляет собой частное от деления численных значений выбранного показателя на их число и вычисляется по формуле:

_N

Х_СА = ∑ X_i / N,

ⁱ⁼¹

где: Х_СА – средняя арифметическая;

X_i – отдельные результаты измерения (оценки);

N – количество результатов измерения (оценки).

Примером средней арифметической может служить средний балл успеваемости класса по учебному предмету. Суммируются баллы (оценки) всех учеников класса и полученная сумма делится на количество учеников в классе. При этом необходимо иметь ввиду, что средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда между определяющим свойством и данным признаком имеется прямо пропорциональная зависимость. Например, улучшение показателей успеваемости каждого ученика ведет к повышению успеваемости всего класса.

Среднее квадратическое отклонение широко применяется как мера разброса для различных характеристик. Оно подтверждает типичность и показательность средней арифметической, отражает меру колебания численных значений признаков, из которых выводится средняя величина. Вычисляется среднее квадратическое отклонение по формуле:

_N

σ = √ ∑ (X_i - Х_СА)² / N - 1,

ⁱ⁼¹

где: σ – среднее квадратическое отклонение;

_N

∑ (X_i - Х_СА) - сумма отклонений отдельных результатов измерений от средней арифметической;

ⁱ⁼¹

N – 1 – количество измерений минус единица для тех случаев, когда количество измерений

менее 100.

Дисперсия используется в качестве характеристики индивидуальных результатов разброса значений исследуемой переменной вокруг среднего значения. Представляет собой средний квадрат отклонений значения исследуемой переменной от среднего значения. Вычисляется по формуле:

_N

σ² = ∑ (X_i - Х_СА)² / N - 1,

ⁱ⁼¹

где: σ² – дисперсия;

Х_СА – средняя арифметическая;

X_i – отдельные результаты измерения (оценки);

N – количество результатов измерения (оценки).

Вычисления дисперсии и среднего квадратического отклонения удобно производить с помощью таблицы. Рассмотрим это на примере. Допустим знания ученика по учебному предмету члены комиссии оценили следующим образом: 1 – хорошо, 2 – отлично, 3 – хорошо, 4 – хорошо, 5 – удовлетворительно.

N члена комиссии	Значение показателя Xi	Среднее арифметическое ХСА	Отклонение от среднего Xi - ХСА	Квадрат отклонения от среднего (Xi - ХСА)^2
		-1
N Сумма квадратов отклонения ∑ (Xi - ХСА)^2 ^i=1
N Дисперсия σ^2 = ∑ (Xi - ХСА)^2 / N - 1 ^i=1	0,5
N Среднее квадратическое отклонение σ = √ ∑ (Xi - ХСА)^2 / N - 1 ^i=1	0,7

Медиана – это мера среднего положения, характеризующая значение параметра на упорядоченной шкале, построенной по признаку возрастания или убывания. Соответствует середине исследуемой совокупности. Вычисляется по формуле:

Ме = (N – 1) / 2,

где: Ме – численное значение медианы или место расположения значения медианы;

N – общее количество субъектов (объектов) исследования.

Определяют медиану, как правило, для порядковых и количественных признаков. Например, по результатам исследования установлено, что по учебному предмету оценены знания учеников:

5 человек – отлично;

20 человек – хорошо;

26 человек – удовлетворительно;

6 человек – неудовлетворительно.

Общее количество субъектов исследования (учеников) N = 57. Середина исследуемой совокупности, медиана Ме = (57+ 1) / 2 = 29. Следовательно, можно сделать вывод, что более половины учащихся учится ниже уровня «хорошо», т.е. медиана больше «удовлетворительно», но меньше «хорошо».

Корреляция – зависимость (связь) между двумя и более переменными. Мера этой зависимости, степень и величина этой связи оценивается с помощью коэффициента корреляции. В педагогике и психологии наиболее часто применяются коэффициенты Пирсона и Спирмена. Вычисления этих коэффициентов на примерах: см. Образцов, стр. 149-152.

Дата добавления: 2014-01-15