Условная вероятность

Пусть имеем вероятностное пространство – (W,ℱ, Р) и события А, В Ì W,

произвольны, причем Р { В }> 0.

Определение. Условной вероятностью называется число, определяемое формулой:

, . (6)

Следует читать: ~

Формула (6) считается определением, ниоткуда не выводится и является отражением здравого смысла. Поясним это на примере геометрического изображения событий (рис. 3).

Рис. 3

Пусть пространство W состоит из n (³ m + k)точек, равноправных между собой. Событие А насчитывает m точек, событие В - k точек и событие А Ç В – r точек. По определению, событие происходит, если в результате эксперимента реализовалась какая - либо из точек, составляющих это событие. Для условной вероятности (6), фраза: «Событие А произойдет при условии, что В произошло»,- означает, что должна реализоваться одна из точек события А Ç В, где событие В играет роль вероятностного пространства. Следовательно, – есть оценка доли участия события А в реализации события В, то есть

.

С другой стороны, если рассматривать все пространство W, то

, .

По формуле (6) получаем

.

Теорема умножения. Пусть А, В Ì W, тогда

Р { А Ç В } = P { B }× Р { А / В } = P { А }× Р { В / А }. (7)

Доказательство. Если Р { B } ¹ 0, то (7) сразу следует из (6). Если же Р { B }=0, то Р { А Ç В } = 0 и, следовательно, (7) тривиально._▼

Определение. События А, В Ì W независимы, если

Р { А / В } = P { А }. (8)

В самом деле, для независимых событий, по определению, имеем

Р { А Ç В }= P { А }× P { B }.

Делая в (7) замену по формуле (8), получаем эквивалентность определений независимости событий.

Определение. События независимы в совокупности, если

.

Замечание. Попарной независимости событий (см. аксиому 3 вероятности) недостаточно для независимости их в совокупности (пример Бернштейна [2]).

1.4 Формула полной вероятности и формула Байеса (Bayes)

Дата добавления: 2014-01-15