Локальная теорема Муавра – Лапласа

Теорема. Пусть в n независимых испытаниях, вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1), тогда имеет место асимптотическая оценка

, (14)

где

,

Доказательство теоремы сразу следует из центральной предельной теоремы, которая рассматривается в части 3 (п. 3.2).

Справедливость формулы (14) проиллюстрирована на рис. 5.

Рис. 5

Изобразим координаты (k, Р_n (k)) звездочками. Функцию Р_n (k) аргумента k,можно приблизить, в соответствии с формулой (14):

,

где np – координата центра тяжести (среднее значение), а характеризует меру «сжатости» около центра np.

Делая замену , мы преобразуем произвольную функцию к стандартной j(х), у которой координата центра тяжести np = 0, а . Из рисунка видно, что при n ® ¥, (при этом всегда ) ошибка уменьшается. Для удобства вычислений, функция j(х) табулирована (см. приложение, табл. 3). Сама функция называется кривой Гаусса [5]. Функция j(х) – четная, j(х) ® 0 при ê х ê® ¥, j(х)< 10^-4, при ê х ê> 5,

Для практических приложений (при n > 10, р ) используют формулу

. (15)

Пример. Решить пример п 1.5, а).

Решение. Имеем

,

k = 50, np = 50, .

Итак,

=.

Дата добавления: 2014-01-15