Средние величины и показатели вариации

1. Сущность и значение средних величин

2. Виды средних величин

2.1. Степенные средние

2.2. Структурные средние

3. Понятие и показатели вариации

Средняя величина – обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего (изменяющегося) признака в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Отличительной особенностью средних величин является то, что в них сглаживаются индивидуальные различия признака у отдельных единиц совокупности, в результате чего появляется возможность охарактеризовать общие черты и свойства массовых экономических явлений. Вместе с тем средние показатели иногда приводят к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа, так как они игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Принципы применения средних величин:

1. Для расчета средних величин должны быть использованы массовые данные. В средней величине, рассчитанной на основе данных о большом числе единиц (массовых данных)колебания в величине признака, вызванные случайными причинами сглаживаются и проявляется типичный размер признака для всей совокупности.

2. Средние величины рассчитываются по однородным совокупностям. Для получения однородной совокупности необходима группировка данных, поэтому расчет средней величины должен сочетаться с методом группировки. Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые называются групповые средние, они выражают наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех групп общая средняя величина, характеризующая явление в целом. Она определяется как среднее значение из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу.

На практике безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собой ограничение возможностей статистического анализа общественных процессов, поэтому часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям (например, средняя ЗП по Брянской области)

3. Общие средние величины должны подкрепляться групповыми средними, характеризующими части совокупности. Это обусловлено тем, что за средними показателями скрываются особенности различных частей изучаемой совокупности (например, средняя ЗП в каждом районе Брянской области).

4. Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности. В случае больших отклонений между крайними значениями и средним необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности, следовательно, их необходимо исключить из анализа, так как они оказывают влияние на размер средней величины (например, многие данные по Москве существенно отличаются от общероссийских).

Средние величины делятся на два класса: степенные средние и структурные средние

2.1.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных рассчитываются в двух формах: простой и взвешенной. Простая средняя рассчитывается по не сгруппированным данным, а взвешаная средняя рассчитывается по сгруппированным данным, представленным в виде интервальных или дискретных рядов распределения.

Виды степенных средних.

Формулы расчета степенных средних величин смори в раздатке.

Средняя арифметическая простая применяется, когда количество вариантов по конкретному признаку встречается по одному или одинаковому числу раз.

Пример 1. Имеются след данные о ЗП рабочих участка за сентябрь. Вычислить среднюю ЗП рабочих участка за сентябрь.

Профессия	Количество рабочих, человек	ЗП каждого рабочего, руб.
Токарь		11 700, 11 208, 10 917, 11 620, 11 400
Фрезеровщик		11 810, 11 550
Слесарь		11 210, 11 380, 10 870

Решение: что требуется усреднить, то и признак – Х; f=1 (частота) для каждого значения признака, так как ничего не повторяется. Каждое значение признака (ЗП) встречается только один раз, поэтому применим формулу средней арифметической простой: x_ср=(11700+11208+…+10870)/10=11366,5 руб.

Средняя арифметическая взвешаная применяется при условии повторения признака неодинаковое число раз.

Пример 2. Имеется распределение рабочих участка по величине ЗП за сентябрь.

Месячная ЗП, руб.	10 250	10 750	11 125	11 575
Число рабочих, чел.

Рассчитать среднюю ЗП за сентябрь.

Решение: Х – заработная плата; число рабочих – частота признака – f. Так как имеются повторяющиеся с разной частотой значения признака, применим формулу средней арифметической взвешенной: x_ср=(10250*2+10750*6+11125*15+11575*7)/(2+6+15+7)=11097 руб.

Расчет средних величин по результатам группировки.

Часто исходные данные для анализа бывают представлены в сгруппированном виде – когда для каждого значения осредняемого Х сообщается частота его повторения. В этих случаях средняя величина рассчитывается по обычным формулам средних взвешенных (пример 2). Сложности возникают, когда в сгруппированных данных указывается не конкретное значение признака Х по каждой группе, а лишь интервал его изменения (пример 3). В данном случае правильный расчет общей средней величины возможен, если от интервалов перейти к их серединам. Таким образом, расчет средней арифметической делают по формуле: =(∑ _i*f_i)/∑f_i, _i=x_min+((x_max-x_min)/2), где x_max – верхняя граница, x_min – нижняя граница. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего).

Расчет среднего значения по данным группировки требует особого внимания при выборе взвевающего показателя (частоты). Часто величины f_i – частоты повторения признака х – в исходных данных либо отсутствуют, либо не совсем очевидны.

Пример 3: имеются след данные:

Группы предприятий	Себестоимость одного изделия, руб.	Число предприятий, %	Объем продукции, %
	До 115
	115 – 120
	120 – 125
	125 и более
ИТОГО:	Х

Определить среднюю себестоимость изделия.

Решение: себестоимость единицы – Х, частота повторений – если с определением серединного интервала сложностей не возникает _i=x_min+((x_max-x_min)/2); ₁=110+ =112,5; ₂=115+ =117,5; ₃=122,5; ₄=127,5, то при выборе взвешивающего показателя типичной ошибкой является выбор признака «Число предприятий»; умножения себестоимости одного изделия на число предприятий экономического смысла не имеет, тогда как умножение себестоимости одного изделия на объем продукции дает реальную экономическую величину–общую сумму затрат. Таким образом, в качестве взвешивающего показателя следует взять объем продукции (четвертый столбец – f).

Тогда средняя себестоимость изделия будет равна: =. = =123,15 руб. •

Средняя гармоническая – величина, обратная средней арифметической. Средняя гармоническая простая рассчитывается, если имеются похожие объекты различные по какому либо признаку.

Пример 4: два автомобиля работают на одной марке бензина. Первый автомобиль имеет удельный расход 0,05 л/км, второй 0,08 л/км. Определить средний удельный расход бензина по двум автомобилям.

Решение: =. •

Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается в случае, если по условию дано произведение признака на частоту (x*f).

Пример 5: определить среднюю продолжительность рабочего дня на предприятии по данным таблицы.

Номер цеха	Средняя фактическая продолжительность рабочего дня, часов	Отработанное время, чел.*час
	7,8	52 260
	7,2	36 072

Решение: признак – средняя фактическая продолжительность, третий столбец – x*f. =.•

Средняя геометрическая: применяется в основном простая для определения среднего коэффициента роста.

Пример 6: рассчитать среднегодовой коэффициент роста объема продукции за период с 2009 по 2011 год.

Годы	Производство продукции, тыс. руб.	Коэффициенты роста[1], цепные
		-
		1,081
		1,05

Решение: для 2009 КР не будет (не с чем сравнивать); для 2010: 400/370=1,081; для 2011: 420/400=1,05. Условные обозначения: x – третий столбец. [2] = •

Средняя квадратическая применяется для расчета среднего квадратического отклонения, являющегося показателем вариации признаков, а также в технике и, например, при сооружении трубопроводов.

Пример 7: подача жидкого топлива для технологического процесса осуществляется в цехе тремя трубопроводами с диаметром 2, 5 и 6 см. При капитальном ремонте здания цеха эти трубопроводы будут заменены на три новых, одинакового диаметра при сохранении их общей пропускной способности. Определить средний диаметр трубы (диаметр новой трубы).

Решение: определяющий показатель пропускной способности труб – их радиус. =. Д=2 ч=4,66 см.•

Резюме: значения степенных средних, рассчитанных на основе одних и тех же индивидуальных значений признака при разных показателях степени, не одинаковы. Чем выше степень средней, тем больше величина самой средней – правило мажорантности средних.

2.2.

Мода – числовое значение признака, которое наиболее часто встречается в ряду распределения. Может определяться по несгруппированным данным, а также для дискретного и интервального ряда распределения.

Расчет моды по несгруппированным данным

Пример 8: известно, что семь сотрудников отдела кадров имеет след стаж работы, лет: 5, 2, 4, 3, 4, 2, 2.

Решение: ранжируем исходные данные: 2,2,2,3,4,4,5. Так как чаще всего встречается стаж работы два года, он является модальным.•

Расчет моды по дискретному ряду распределения:

Особенности применения моды для дискретного ряда:

1. Если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то этот вариационный ряд не имеет моды

2. Если два соседних варианта имеют одинаковую наибольшую частоту, то мода рассчитывается как среднее арифметическое из этих вариантов

3. Если два не соседних варианта имеют одинаковую наибольшую частоту, то вариационный ряд называется бимодальным

4. Если таких вариантов более двух, то ряд полимодальный

Пример 9: имеется ряд распределения рабочих по выработке деталей:

Выработка деталей за смену, штук	Число рабочих, человек	Сумма накопленных частот
		2+4=6
		6+5= 11 (первое превышение полусуммы)
		11+3=14
		14+1=15
ИТОГО:

Определить моду.

Решение: вводим условные обозначения: выработка – признак, частота – число рабочих. Поскольку наибольшее число рабочих (5 человек) имеют выработку 20 деталей, мода равна 20.

Расчет моды по интервальному ряду распределения

Для интервальных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:, где i – величина модального интервала, fм – частота модального интервала, fм-1 – частота интервала предшествующего модальному, fм+1 – частота интервала след за модальным.

Пример 10: имеются предприятия региона, распределенные на группы по стоимости основных производственных фондов. Определить моду.

Группы основных производственных фондов, млн руб.	Число обследованных предприятий	Сумма накопленных частот
14-16
16-18		2+6=8
18-20		8+10= 18 (первое превышение полусуммы)
20-22		18+4=22
22-24		22+3=25
ИТОГО:

Решение: признак – группы ОПФ, число предприятий – частота повторений признака. Модальный интервал 18-20, так как для него характерно наибольшая частота (10 предприятий). млн. руб.[3]. Вывод: предприятие, имеющее величину ОПФ в размере 18,8 млн. руб., представляют собой наибольшую группу в общем объеме рассматриваемых предприятий.•

На практике мода иногда используется вместо средней арифметической или вместе с ней, например, при определении наиболее ходовых размеров одежды и обуви, что учитывается при планировании их производства.

Медиана – это величина признака, которое делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. Рассчитывается по несгруппированным данным, а также для дискретного и интервального ряда.

Расчет медианы по несгруппированным данным

В начале для определения медианы необходимо провести ранжирование (упорядочение). Если ряд состоит из нечетного количества вариантов, место медианы определяется по формуле:, где n – количество единиц совокупности. Для четного ряда медиана рассчитывается как средняя арифметическая простая из двух значений, находящихся в середине ряда.

Пример 11: по условию примера 8 найти медиану.

Решение: проведем ранжирование исходных данных: 2 2 2 3 4 4 5. Ряд нечетный, потому что семь элементов, поэтому место медианы. Медианный стаж 3 года, то есть половина работников имеют стаж менее трех лет, другая половина – более трех лет.•

Расчет медианы по дискретному и интервальному ряду распределения:

Алгоритм нахождения медианы для дискретного ряда (медианного интервала для интервального ряда):

1. Определяем общую сумму и полусумму частот

2. Для каждого значения признака (интервала) определяем сумму накопленных частот

3. Медианным будет то значение признака (тот интервал), для которого сумма накопленных частот впервые будет равна или превысит их полусумму.

Для интервального ряда медиана рассчитывается по формуле. где Sм-1 – сумма частот накопленная до начала медианного интервала, fм – частота медианного интервала.

Пример 12: по данным примера 9 найти медиану.

Решение:

1. Определяем сумму частот – 15.полусумма – 7,5

2. Смотри в таблице (третий столбец)

3. Медианой является то значение признака, для которого сумма накопленных частот впервые будет равно или превысит полусумму (11>7,5)

Вывод: таким образом, медиана равна 20 деталей (первый столбец), то есть половина рабочих имеют выработку более 20 деталей, другая половина менее 20 деталей.•

Пример 13: по данным примера 10 найти медиану.

Решение:

1. Определяем сумму частот – 25, полусумма – 12,5

2. Смотри третий столбец примера 10

3. Медиана находится в том интервале, в котором сумма накопленных частот впервые будет равна или превысит полусумму (18>12,5)

Таким образом, медианный интервал 18-20. Применим формулу: млн. руб.

Медиана всегда лежит в медианном интервале!

Вывод: половина предприятий имеют стоимость ОПФ менее 18,9 млн. руб., остальные – более 18,9 млн. руб.•

Медиана используется при распределении семей по величине дохода, при проектировании оптимального положения остановок общественного транспорта, складских помещений и т.д.

Мода и медиана имеют преимущество перед средней арифметической для ряда распределения с открытыми интервалами.

Для исследования колеблемости средней величины в статистике возникает необходимость изучения признаков вариации ее измерения.

Вариация – это несовпадение уровней одного и того же признака у разных объектов, принадлежащих одной совокупности (например, вариация оценок по дисциплине ЭПП в группе 11-ПИ).

Вариацией называется изменчивость только тех явлений, на которые воздействуют внешние факторы и причины. Тогда, как о явлениях, изменяющихся в силу своей внутренней природы, нельзя говорить. Что они подвержены вариации (например, рост отдельного человека, меняющийся в течение жизни. Изучение изменчивости роста, который. Допустим, к году составляет 0,8 метра, а к 20 годам 1,79 метра, путем расчета среднего роста будет некорректным, так как в начале жизни рост был небольшой в силу естественных причин).

Не следует путать с вариацией изменения размера признака по одной и той же единице совокупности, наблюдаемой в разные моменты или периоды времени. Такое изменение называется изменение во времени или динамикой явления и исследуется с помощью специальных методов.

Задачи исследования вариации в статистике

1. Выявление изменчивости размеров явления дает возможность оценить степень зависимости изучаемого явления от других факторов в свою очередь подверженных изменчивости, то есть оценить степень устойчивости явления к внешним воздействиям

2. Вариация предполагает оценку однородности изучаемого явления, то есть меру типичности, рассчитанной для этого явления статистической величины (прежде всего средней)

3. Вариация и методы ее исследования имеют важнейшее значение в изучении явлений, протекающих в обществе. Одной из главных проблем исследования общественных явлений и процессов является высокий уровень их изменчивости, так как участниками общественных процессов выступают люди, обладающие различными системами ценностей и интересов

Вариация измеряется при помощи абсолютных показателей (размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и дисперсия) и относительных показателей (коэффициент вариации).

Размах вариации определяется как разница между максимальным и минимальным значением признака: R=Xmax-Xmin.

Пример 14. Определить средний размер страховых выплатах за год по договорам страхования от несчастных случаев. Проанализировать вариацию данных.

Сумма выплат, тыс. руб. (x)	Число выплат (f)
Итого

Решение.

Х=(5*11+6*17+7*23+8*30+9*18)/99=7,3 тыс. руб

R=9-5=4 тыс. руб.

Среднее линейное отклонение точнее характеризует колеблемость и представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической. Рассчитывается как простое (для дискретных рядов), так и взвешенное (для интервальных).

;

где Xi - значение варианта;

X - среднее значение признака;

Fi – частота повторения призака;

n - число вариантов.

d= (I(5-7,3)*11+(6-7,3)*17+(7-7,3)*23+(8-7,3)*30+(9-7,3)*18I)/99=1,07 тыс. руб.

Дисперсия – среднее квадратическое отклонение в квадрате.

;

Среднее квадратическое отклонение – показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.

;

тыс.руб.

Т.о. страховые выплаты отклонялись от их среднего размера в среднем на 1,25 тыс. руб.

Коэффициент вариации – наиболее часто применяемый показатель колеблемости относительно среднего значения, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

V=s/x*100%

V=1,25/7,3*100%=17,1% (совокупность по рассматриваемому признаку можно считать однородной).

[1] Рисуем этот столбец сами, расчет тоже производим сами

[2] П - произведение

[3] Мода всегда лежит в модальном интервале

Дата добавления: 2014-01-15