Производные основных элементарных функций. Понятие о производных высших порядков. Эластичность функции

Пример 1

Продифференцировать функцию y (x), заданную уравнением .

Решение. Продифференцируем обе части уравнения по переменной x:

что приводит к результату:

Используя определение непрерывности и определение производной функции в точке, замечательные пределы и правила дифференцирования можно показать, что производная каждой простейшей элементарной функции снова является элементарной функцией. Обычно производные основных элементарных функций сводятся в специальные таблицы:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) .

Пусть – производная функции . Функция называется также первой производной. Производная функции называется второй производной функции и обозначается или . Вообще, п-ой производной функции называется производная ее (п -1)-ой производной: . Говорят также, что – это производная порядка п от функции . Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных величин: предельные издержки, предельный доход, предельная производительность, предельная полезность и т.д. Все эти величины тесным образом связаны с понятием производной. В качестве характерного примера рассмотрим характерные издержки.

Пусть х – количество произведенной продукции, – соответствующие данному выпуску издержки. Предельные издержки обозначим MY и определим как дополнительные издержки, связанные с производством еще одной единицы продукции, т.е.

, где .

Тогда

.

Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, изменение экономического объекта. Здесь производная означает скорость изменения некоторого экономического процесса во времени или относительно другого фактора. В этом заключается экономический смысл производной.

Для исследования прикладных экономических задач было введено понятие эластичности функции. По существу это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций. Эластичностью функции в точке х ₀ называется следующий предел

.

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной х на 1%.

Тема 2 Приложения производной

Дата добавления: 2014-01-15