Естественные координатные оси. Вектор кривизны

Проведем в точке М кривой АВ соприкасающуюся плоскость, нормальную плоскость, перпендикулярную касательной, и спрямляющую плоскость, перпен­дикулярную соприкасающейся и нормальной плоскостям, образующую с этими плоскостями естественный трехгранник (рис. 3).

Рисунок 3

Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей называется главной нормалью кривой.

Линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей называется бинормалью кривой.

Естественными координатными осями называются три взаимно перпендикулярные оси; касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты, главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой, и бинормаль, направленная по отношению к касательной и главной нормали так же, как ось Оz направлена по отношению к осям Ох и Оу в правой системе координатных осей. Единичные векторы-орты этих осей обозначаются соответственно и . Естественные координатные оси имеют начало в точке М кривой и при движении точки М по этой кривой перемещаются вместе с ней, оставаясь взаимно перпендикулярными, но изменяя свое направление в пространстве.

Возьмем на кривой АВ две точки М и М₁, соответствующие дуговым координатам ОМ = s и ОM₁ = s + Δs. Покажем орты касательной и в этих точках (рис. 4). Модуль орта , равный единице, постоянен, но направление орта изменяется при перемещении точки по кривой, т. е. орт является переменным вектором.

Рисунок 4

Определим приращение орта на участке ММ₁ = ∆s. Для этого отложим от точки М орт и построим при этой точке параллелограмм, одной из сторон которого будет орт , а диагональю — орт . Тогда другая сторона параллелограмма будет приращением орта , т. к. .

Разделим приращение орта на приращение дуговой координаты ∆s. Вектор характеризующий поворот касательной к кривой на участке ММ₁, называется вектором средней кривизны кривой на участке ММ₁. Этот вектор имеет направление вектора , т. е. направлен в сторону вогнутости кривой.

Предел , к которому стремится вектор средней кривизны кривой , когда ∆s стремится к нулю, называется вектором кривизны кривой в данной точке:

.

Орт касательной к кривой является вектор-функцией дуговой координаты s, т. к. его направление зависит от положения точки на кривой, т. е.

Тогда

Следовательно, вектор кривизны кривой в данной точке равен производной от орта касательной к кривой по дуговой координате.

Для определения модуля этого вектора рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный , и (рис. 4).

Угол между направлениями касательных в двух точках кривой М и М₁ называется углом смежности. При малом расстоянии ∆s угол смежности тоже мал.

Модуль найдем как длину основания равнобедренного треугольника с малым углом при вершине и боковыми сторонами, равными единице.

Тогда

Модуль вектора кривизны К определяется по формуле

Из дифференциальной геометрии известно, что предел отношения угла смежности к приращению дуговой координаты при стремлении к нулю равен кривизне кривой , при - радиус кривизны кривой в точке М.

Установим также направление вектора кривизны.

Вектор средней кривизны находится в плоскости треугольника, составленного векторами , и , предельным положением которого является соприкасающаяся плоскость. Следовательно, вектор кривизны расположен в соприкасающейся плоскости.

Рисунок 5

Рассмотрим угол , составленный вектором с касательной в точке М (рис. 4):

2β = 180° - ε; β = 90° - ε /2.

При приближении точки M₁ к точке М угол смежности ε стремится к нулю, а поэтому

Так как вектор кривизны расположен в соприкасающейся плоскости и пер­пендикулярен орту , то он направлен по главной нормали к центру кривизны кривой (рис. 5).

Представим вектор в виде произведения орта на модуль этого вектора:

где р = МС — радиус кривизны кривой в данной точке М.

Вопрос 2. Определение ускорения точки при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорения точки.

Определим проекции ускорения точки на естественные координатные оси. Для этого представим вектор скорости точки по формуле:

.

Определим ускорение точки, продифференцировав по t произведение двух переменных величий и умножив первое слагаемое на :

_

Зная, что и

Подставив эти выражения, получим вектор ускорения в виде

Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением, а другой направлен по касательной и называется касательным ускорением точки:

где нормальное ускорение точки

а касательное ускорение точки

Скалярные множители и , определяющие нормальное и касательное ускорения точки, представляют собой проекции ускорения точки на главную нормаль и касательную.

Проекция ускорения точки на бинормаль оказалась равной нулю, т. к. вектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости.

Согласно формуле (73.3),

т е проекция ускорения точки на главную нормаль равна квадрату модуля ско­рости точки, деленному на радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Эта проекция всегда положительна. Из этого следует, что нормальное ускорение точки всегда направлено к центру кривизны траектории и равно по модулю этой проекции.

Условимся алгебраическую величину касательного ускорения обозначать , а его модуль .

Согласно формуле,

т е проекция ускорения точки на касательную равна второй производной от дуговой координаты точки по времени или первой производной от алгебраиче­ской величины скорости точки по времени.

Эта проекция имеет знак плюс, если направления касательного ускорения точки и орта совпадают, и знак минус, если они противоположны.

Таким образом, в случае естественного способа задания движения, когда из­вестны траектория точки, а следовательно, ее радиус кривизны в любой точке и уравнение движения s = f(t), можно найти проекции ускорения точки на есте­ственные оси и по ним определить модуль и направление ускорения точки:

; ;

где и — углы, образованные направлением ускорения с принятыми направлениями касательной и главной нормали в данной точке.

Если проекции скорости и касательного ускорения на касательную v = ds и имеют одинаковые знаки, то и направление этих векторов совпадают, т. е точка движется ускоренно.

Если же их проекции v = ds и имеют различные знаки, то и направления этих векторов противоположны, т. е. точка движется замедленно.

Дата добавления: 2014-01-15