Метод координат Декарта. Пряма на площині

ЛЕКЦІЯ 6: АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ І У ПРОСТОРІ

Нехай у декартовій прямокутній системі координат задано точки А (x_A, y_A) та В (x_В, y_В).

Відстань між точками А та В .

Координати точки С, яка ділить відрізок АВ у заданому відношенні (тобто ):

, . (4.6)

Зокрема, координати середини відрізка АВ – точки D:

, .

Рівняння прямої: ax + by + c =0, причому хоча б одне з чисел a, b не рівне нулеві.

Якщо , то рівняння прямої можна звести до вигляду y = kx + m, при цьому число k називають кутовим коефіцієнтом прямої. Має місце співвідношення , де – кут між додатним напрямком вісі Ox та прямою, який відраховується у додатному напрямку (проти годинникової стрілки).

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k, яка проходить через точку M (x ₀, y ₀) має вигляд

y – y ₀= k (x – x ₀). (4.7)

Рівняння прямої, яка проходить через точки А (x_A, y_A) та В (x_В, y_В), має вигляд

(y – y_А)(x_В – x_А) = (x – x_А)(y_В – y_А). (4.8)

У випадку, коли пряма АВ не паралельна координатним прямим Ox або Oy, рівняння (3) можна записати у вигляді

(4.9)

Якщо пряма АВ паралельна прямій Ox, то рівняння (4.8) приймає вигляд y = y_А, а якщо вона паралельна прямій Oy, то рівняння (4.8) має вигляд x = x_А.

Для того, щоб знайти спільні точки прямих l ₁: a ₁ x + b ₁ y + c ₁=0 та l ₂: a ₂ x + b ₂ y + c ₂=0, необхідно розв’язати систему

(4.10)

При цьому можливі три випадки:

1) (при і цю умову можна записати у вигляді , що означає непропорційність коефіцієнтів при змінних x, y в рівняннях прямих l ₁ та l ₂). В цьому випадку система (4.10) має єдиний розв’язок (x ₀, y ₀), а прямі l ₁ та l ₂ перетинаються в точці (x ₀, y ₀);

2) (при цю умову можна записати у вигляді , тобто при цьому пропорційні тільки коефіцієнти при змінних x, y в рівняннях прямих l ₁ та l ₂). В цьому випадку система (4.10) не має розв’язків і || l ₂;

3) (при цю умову можна записати у вигляді , тобто при цьому пропорційні всі коефіцієнти у рівняннях прямих l ₁ та l ₂). В цьому випадку система (4.10) має нескінченну кількість розв’язків, а прямі l ₁ та l ₂ при цьому співпадають.

Розглянемо тепер прямі l ₁: y = k ₁ x + m ₁ та l ₂: y = k ₂ x + m ₂. Умови паралельності і перпендикулярності прямих l ₁ та l ₂ мають вигляд:

|| l ₂ .

Якщо і , то гострий кут між прямими l ₁ та l ₂ обчислюється за формулою

, (4.11)

Відстань від точки M (x ₀, y ₀) до прямої l: ax + by + c =0 знаходиться за формулою

, (4.12)

зокрема, якщо пряма l має рівняння y = kx + m, формула (7) набуває вигляду

. (4.13)

Відстань d (l ₁, l ₂) між паралельними прямими l ₁: y = kx + m ₁ та l ₂: y = kx + m ₂ знаходиться за формулою

. (4.14)

Рівняння кола радіуса R з центром в точці (x ₀, y ₀) має вигляд:

. (4.15)

Приклад 5. Знайти координати точки К, яка симетрична до точки М (3;–2) відносно прямої l: y =4 x +3.

Точка К лежить на прямій l ₂, яка проходить через точку М і перпендикулярна прямій l. Оскільки , а кутовий коефіцієнт k_l прямої l дорівнює 4, то пряма l ₂ має кутовий коефіцієнт . Тоді рівняння прямої l ₂ має вигляд . Тепер знаходимо координати точки N перетину прямих l та l ₂, розв’язуючи систему рівнянь

Таким чином, знайдено точку N (–1;–1). Нарешті, використовуючи формули координат середини відрізка, знаходимо координати точки К (x_K, y_K):

Приклад 6. Задано точки А (–4;0), В (0;3), С (0;0). Знайти рівняння бісектриси AL трикутника ABC. Знайти координати центра О кола, вписаного до трикутника ABC.

Знайдемо довжини відрізків АВ, ВС, АС так, що ВС =3, АС =4, . За основною властивістю бісектриси AL трикутника ABC маємо: , тобто точка L ділить відрізок СВ у відношенні 4:5. Тому координати точки L знаходимо x_L =0, y_L =.

Тепер рівняння прямої AL запишемо за формулою (4.9):

.

Оскільки центр О кола, вписаного до трикутника АВС, є точкою перетину бісектрис, то його координати задовольняють систему

де y =– x – рівняння бісектриси кута С (див. рис. 4.2). Розв’язком системи є пара (–1;–1).

Таким чином, AL: ; O (–1;–1).

Дата добавления: 2014-01-11