Взаємне розташування прямої та площини у просторі

Нехай задана пряма p: та площина : ax + by + cz + d =0.

,

,

де - напрямний вектор прямої p, - вектор нормалі площини .

Рівняння прямої p, що проходить через точку перпендикулярно до даної площини : :

, виберемо , шукане рівняння

p: (4.22)

Рівняння площини , що проходить через точку перпендикулярно до даної прямої p: :

, виберемо , шукане рівняння

, (4.23)

тут ми скористалися рівнянням (4.15).

Приклад 8. У просторі задано площину , пряму та точку . Знайти:

1) рівняння площини , що проходить через точку М ₀, паралельної площині ;

2) рівняння площини , що проходить через точку М ₀, перпендикулярної прямій p ₁;

3) рівняння прямої p ₂, що проходить через точку М ₀, перпендикулярної площині ;

4) рівняння прямої p ₃, що проходить через точку М ₀, паралельної прямій p ₁;

5) відстань від точки М ₀ до площини : ;

6) точку N перетину прямої p ₁ та площини ;

7) відстань від точки М ₀ до прямої p ₁: .

1) Скористаємось рівнянням (4.15): . Виберемо вектор нормалі шуканої площини . Отже, : .

2) Скористаємось рівнянням (4.23), вектор нормалі шуканої площини . Отже, : .

3) Скористаємось рівнянням (21), напрямний вектор шуканої прямої . Отже, p ₂: .

4) Скористаємось рівнянням (4.19). Оскільки . Виберемо напрямний вектор шуканої прямої . Отже, : .

5) Скористаємось формулою (4.17): .

6) Шукана точка N є розв’язком системи . Для знаходження розв’язку зручно звести канонічне рівняння прямої до параметричного вигляду: Підставляючи ці вирази у рівняння площини, знайдемо значення параметра t: .

Отже, координати точки отримані підстановкою знайденого значення параметру до параметричного рівняння прямої.

7) Шукана відстань є довжиною перпендикуляру, проведеного з точки М ₀ до прямої p, тому для її знаходження необхідно виконати наступні дії:

a) побудувати рівняння площини, що проходить через точку М ₀ перпендикулярно до прямої p (очевидно, шуканий перпендикуляр лежить у цій площині). Очевидно, це площина : , знайдена в пункті 2 цієї задачі.

б) знайти точку К перетину побудованої площини із заданою прямою (основу шуканого перпендикуляру), як розв’язок системи . Аналогічно пункту 6, для знаходження розв’язку зручно звести канонічне рівняння прямої до параметричного вигляду: Підставляючи ці вирази у рівняння площини, знайдемо значення параметра t: .

Отже, координати точки отримані підстановкою знайденого значення параметру до параметричного рівняння прямої.

в) знайти шукану відстань як відстань між точками М ₀ і К:

.

Дата добавления: 2014-01-11