Методы решения задач. Примеры решения задач

В динамике можно выделить две основные задачи:

1) нахождение сил, под действием которых может происходить данное движение тела;

2) определение кинематических характеристик движения тела, когда известны действующие на него силы.

Любую задачу динамики рекомендуется решать по следующему алгоритму:

1. Сделать чертеж. На чертеже указать направление движения тела (направление скорости ) и направление ускорения .

2. Указать силы, действующие на тело. Записать второй закон Ньютона в векторной форме: .

3. Выбрать направление координатных осей и и спроецировать на них записанное ранее векторное уравнение.

4. Если в движении участвует несколько взаимно связанных тел, то необходимо для каждого из них выполнить п. 1–3.

5. Решить полученную систему уравнений.

Часто в условиях задачи содержится дополнительная информация. В частности, слово «легкая» нить означает, что ее масса равна нулю, «нерастяжимая» нить – удлинением нити можно пренебречь, «гладкий» стол – трение отсутствует. Практически всегда удобно за положительное направление одной координатной оси выбрать направление ускорения тела (вторая ось перпендикулярна этому направлению).

Пример 2.3.1. Чемодан массой стоит на полу лифта, движущегося с ускорением . Найти вес чемодана, если 1) лифт движется вверх равноускоренно; 2) лифт движется вверх равнозамедленно; 3) лифт движется вниз равноускоренно; 4) свободно падает.

Дано: Решение:

На чемодан действует сила тяжести и сила нормальной реакции опоры . Вес тела это сила, с которой чемодан давит на пол кабины лифта (приложена к лифту). По третьему закону Ньютона он численно равен силе, с которой опора действует на чемодан, т.е. . Следовательно, для нахождения веса чемодана необходимо найти численное значение силы реакции опоры. Сделаем чертеж, на котором укажем силы, действующие на чемодан, направление движения (направление скорости ), направление ускорения .

Решим задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. Ось координат Оу

направим вертикально вверх (рис. 2.3.1).

1) пусть лифт движется равноускоренно вверх (рис. 2.3.1.а). По второму закону Ньютона ; в проекции на ось Оу: , откуда . Следовательно, вес чемодана .

2) пусть лифт движется равнозамедленно вверх – направления скорости и ускорения противоположны (рис. 2.3.1.б). По второму закону Ньютона ; в проекции на ось Оу: , откуда . Следовательно, вес чемодана .

3) пусть лифт движется равноускоренно вниз (рис. 2.3.1.в). По второму закону Ньютона ; в проекции на ось Оу: , откуда .

Следовательно, вес чемодана .

4) пусть лифт свободно падает. Ускорение лифта равно ускорению свободного падения, т.е. . По второму закону Ньютона , следовательно, (состояние невесомости).

Ответ: , , , .

Таким образом, вес тела зависит от ускорения (модуля и направления), с которым движется опора. Направление и величина скорости на вес не влияют показания.

Пример 2.3.2. Два тела с массами и , связанные легкой нерастяжимой нитью, движутся по гладкому столу под действием горизонтальной силы . Найти силу натяжения нити и ускорение тел.

Дано: Решение:

На чертеже укажем силы, действующие на каждое тело, направление скорости и ускорения (рис. 2.3.2). Решать задачу будем в инерциальной системе отсчета, связанной со столом.

Поскольку нить невесома, то из уравнения движения нити , где сила, с которой первое тело действует на нить (приложена к нити и по третьему закону Ньютона равна силе , с которой нить действует на первое тело); сила, с которой второе тело действует на нить (приложена к нити и по третьему закону Ньютона равна ).

Т.к. , то . Тогда уравнения движения тел имеют вид: . В проекции на ось Ох: откуда и .

Ответ: , .

Пример 2.3.3. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязаны грузы массой и . Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь. Шнур считать нерастяжимым.

Решение:

Направления движения, направления ускорений и сил, действующих на грузы и блок в процессе движения, показаны на рис. 2.3.3. Запишем II закон Ньютона для трех тел, участвующих в движении: .

Ось Оу направим вертикально вниз и спроецируем на нее векторные уравнения. Т.к. нить нерастяжима, то за одно и то же время грузы проходят одинаковый путь, откуда следует, что . В проекции на ось Оу: .

Т.к. тела связаны невесомой нитью (масса блока тоже не учитывается), то силу натяжения нити считают одинаковой по всей длине , следовательно . Вычтем из среднего уравнения верхнее: , откуда .

Подставим полученное значение в верхнее уравнение системы и выразим силу натяжения . Из третьего уравнения .

Т.к. по определению вес численно равен силе, с которой растянута пружина, то .

Ответ: .

Пример 2.3.4. На наклонную плоскость, образующую угол с горизонтом, поставлен кирпич. Коэффициент трения между кирпичом и плоскостью равен . С каким ускорением кирпич будет соскальзывать с плоскости? При каких значениях коэффициента трения кирпич останется в покое?

Решение:

Действующие на кирпич силы, направления скорости и ускорения изображены на рис. 2.3.4. Задачу решаем в инерциальной системе отсчета, связанной с наклонной плоскостью. Ось Ох направим по направлению ускорения кубика, ось Оу - перпендикулярно ей. Второй закон Ньютона для кирпича имеет вид: . В проекции на координатные оси .

При скольжении сила трения , поэтому .

Решая систему уравнений, находим: .

Кирпич не будет скользить, если максимальная сила трения покоя больше (или равна) проекции силы тяжести на направление Ох: или , откуда .

Ответ: , .

Пример 2.3.5. Автомобиль массой пытается въехать без предварительного разгона на гору с углом наклона , коэффициент трения между шинами автомобиля и поверхностью горки . С каким ускорением будет двигаться автомобиль? Считать все колеса ведущими.

Решение:

На рис. 2.3.5 показаны силы, действующие на автомобиль на наклонной плоскости. (Учли, что сила трения – внешняя сила, обеспечивающая ускорение автомобиля). Максимальная сила трения (см. пример 2.3.3)

.

С другой стороны, препятствующая движению составляющая силы тяжести численно равна .

Видим, что . То есть при любой силе тяги машина не может въехать в гору, колеса будут пробуксовывать. Ускорение автомобиля будет равно нулю.

Дата добавления: 2014-01-20