Произведение событий. Условная вероятность

Определение. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А –деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Определение. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Например, если А, В, С – появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC – выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Ранее случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Определение. Условной вероятностью Р_А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

Р_А (В) = 3/5.

Этот же результат можно получить по формуле

Р_А (В) = Р (АВ)/ Р (А), (Р (А) > 0). (2.8)

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

Р (А) = 3/6 = 1/2.

Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов – совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3×3 = 9 исходов. Следовательно,

Р (АВ) = 9/30 = 3/10.

Искомая условная вероятность

Р_А (В) = Р (АВ)/ Р (А) = (3/10)/(1/2) = 3/5.

Как видим, получен прежний результат.

Исходя из классического определения вероятности, формулу (2.8) можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения.

Определение. Условной вероятностью события В при условии, что событие А уже наступило, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, причем Р (А) ¹ 0, обозначается также символом Р (В | А).

.

Вероятность Р (В), в отличие от условной, называется безусловной вероятностью.

Дата добавления: 2014-01-20