Теорема сложения вероятностей совместных событий

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

Лекция №3

Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Рассмотрим теорему сложения для совместных событий.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.

Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ).

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

. (3.1)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

.

Отсюда

. (3.2)

Аналогично имеем

Отсюда

. (3.3)

Подставив (3.2) и (3.3.) в (3.1), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ). (3.4)

В справедливости формул можно наглядно убедиться на рис. 3.1.

Рис. 3.1

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А) Р (В);

для зависимых событий

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А) Р_А (В).

Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р (АВ) = 0. Формула (3.4) для несовместных событий принимает вид

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (3.4) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р ₁ = 0,7; р ₂ = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.

Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)

Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 0,7×0,8 = 0,56.

Искомая вероятность

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Замечание 3. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой Р = 1 – q ₁ q ₂. В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т.е. вероятности промахов, таковы:

q ₁ = 1 – р₁ = 1 – 0,7 = 0,3; q ₂ = 1 – p ₂= 1 – 0,8 = 0,2.

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна

Р = 1 – q ₁ q ₂ = 1 – 0,3×0.2 = 0,94.

Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

Можно получить формулу вероятности суммы трех и большего числа совместных событий; для трех событий она имеет вид

Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) – Р (А × В) – Р (А × С) – Р (В × С) + Р (А × В × С). (3.5)

Справедливость равенства поясняет рис. 3.2.

Рис. 3.2.

Проще, однако, найти вероятность суммы нескольких совместных событий P (S) = P (A ₁ + A ₂ + … + A_n), используя равенство , где - противоположно событию S. Тогда . Этот прием можно использовать и при решении задач.

Пример. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение. Введем события: А – появление шестерки на первой кости, В – на второй кости. Тогда А + В – появление хотя бы одной шестерки при бросании костей события А и В совместные.

.

Следовательно, . Или то же самое можно получить по формуле (3.4): .

Дата добавления: 2014-01-20