Математическое ожидание функции одного случайного аргумента

Задана функция Y = j(X) случайного аргумента X. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента.

1. Пусть аргумент X – дискретная случайная величина с возможными значениями х ₁, х ₂,..., х_n, вероятности которых соответственно равны p ₁, p ₂,..., p_n. Очевидно, Y – также дискретная случайная величина с возможными значениями у ₁ = j(х ₁), у ₂ = j(х ₂), …, у_n = j(х_n). Так как событие «величина X приняла значение х_i» влечет за собой событие «величина Y приняла значение j(х_i)», то вероятности возможных значений Y соответственно равны p ₁, p ₂,..., p_n. Следовательно, математическое ожидание функции

. (11.10)

Пример 1. Дискретная случайная величина X задана распределением

X
p	0,2	0,5	0,3

Найти математическое ожидание функции Y = j(X) = X ² +1.

Решение. Найдем возможные значения Y:

j(1) = 1² + 1 = 2; j(3) = 3² + 1 = 10; j(5) = 5² + 1 = 26.

Искомое математическое ожидание функции Y равно

M [ X ² + l] = 2×0,2 + 10×0,5 + 26×0,3 = 13,2.

2. Пусть аргумент X –непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f (х). Для отыскания математического ожидания функции Y = j(X) можно сначала найти плотность распределения g (y) величины Y, а затем воспользоваться формулой

.

Однако если отыскание функции g (y) является затруднительным, то можно непосредственно найти математическое ожидание функции j(X) по формуле

.

В частности, если возможные значения X принадлежат интервалу (а, b), то

. (11.11)

Опуская доказательство, заметим, что оно аналогично доказательству формулы (11.10), если заменить суммирование интегрированием, а вероятность – элементом вероятности f (х)D х.

Пример 2. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f (х) = sin x в интервале (0, p/2); вне этого интервала f (х) = 0. Найти математическое ожидание функции Y = j(X) = X ².

Решение. Воспользуемся формулой (11.11). По условию, f (х) = sin x, j(x) = x ², a = 0, b = p/2. Следовательно,

.

Интегрируя по частям, получим искомое математическое ожидание

M [ X ²] = p – 2.

Дата добавления: 2014-01-20