Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения

Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

Z = j(X, Y).

Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции Z = X + Y по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если X – погрешность показаний измерительного прибора (распределена нормально), Y – погрешность округления показаний до ближайшего деления шкалы (распределена равномерно), то возникает задача – найти закон распределения суммы погрешностей Z = X + Y.

1. Пусть X и Y – дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z = X + Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями:

X				Y
p	0,4	0,6		p	0,2	0,8

Составить распределение случайной величины Z = X + Y.

Решение. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y:

z₁ = 1 + 3 = 4; z₂ = 1 + 4 = 5; z₃ = 2 + 3 = 5; z₄ = 2 + 4 = 6.

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z = 4, достаточно, чтобы величина X приняла значение x ₁ = 1 и величина Y – значение у ₁ = 3. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,2.

Аргументы X и Y независимы, поэтому события X =1 и Y = 3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т.е. вероятность события Z = 1 + 3 = 4) по теореме умножения равна 0,4×0,2 = 0,08.

Аналогично найдем:

P (Z = 1 + 4 = 5) = 0,4×0,8 = 0,32;

Р (Z = 2 + 3 = 5) = 0,6×0,2 = 0,12;

Р (Z = 2 + 4 = 6) = 0,6×0,8 = 0,48.

Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = z ₂, Z = z ₃ (0,32 + 0,12 = 0,44):

Z
p	0,08	0,44	0,48

Контроль: 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1.

2. Пусть X и Y – непрерывные случайные величины. Доказано: если X и Y независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z = X + Y (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале (– ¥, ¥) одной формулой) может быть найдена с помощью равенства

(11.12)

либо с помощью равносильного равенства

, (11.13)

где f ₁, f ₂ – плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g (z) находят по формуле

(11.14)

либо по равносильной формуле

. (11.15)

Определение. Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.

Определение. Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости: композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение (математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых). Например, если X и Y – независимые случайные величины, распределенные нормально с математическими ожиданиями и дисперсиями, соответственно равными а ₁ = 3, а ₂ = 4, D ₁ = 1, D ₂ = 0,5, то композиция этих величин (т.е. плотность вероятности суммы Z = X + Y) также распределена нормально, причем математическое ожидание и дисперсия композиции соответственно равны а = 3 + 4 = 7; D = 1 +0,5 = 1,5.

Пример 2. Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z = X + Y.

Решение. Возможные значения аргументов неотрицательны, поэтому воспользуемся формулой (11.14)

.

Заметим, что здесь z ³ 0, так как Z = X + Y и, по условию, возможные значения X и Y неотрицательны. Можно для контроля убедиться, что

.

Рассмотрим некоторые распределения, связанные с нормальным, которые будут использованы при изложении математической статистики.

11.13. Распределение «хи квадрат»

Пусть X_i (i = 1, 2,..., n) – нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее ческое отклонение – единице. Тогда сумма квадратов этих величин

.

распределена по закону c² («хи квадрат») с k = n степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k = n – 1.

Плотность этого распределения

.

где – гамма-функция; в частности,

Г (x) = (n + 1) = n!.

Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Дата добавления: 2014-01-20