Кинетическая энергия вращающегося тела

Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси против часовой стрелки с угловой скоростью (рис.4.3.1.) Вектор угловой скорости направлен по оси вверх.

Мысленно разобьем тело на бесконечно малые элементы, имеющие элементарные массы и находящиеся на расстоянии до оси вращения соответственно. При вращении элементарные массы будут иметь различные линейные скорости , но угловая скорость их вращения будет одинакова: .

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий элементов:

,

где момент инерции тела относительнооси .

Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

. (4.3.1)

Из сравнения этой формулы с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно , следует, что момент инерции – мера

инертности тела при вращательном движении (чем больше момент инерции, тем большую энергию нужно затратить для достижения данной угловой скорости).

Если тело массой катится по горизонтальной поверхности (такое движение называется плоским), энергия движения будет складываться из энергии поступательного движения и энергии вращения:

, (4.3.2)

где скорость поступательного движения центра масс тела, момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Пример 4.3.1. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу , катятся без скольжения с одинаковой скоростью . Найти кинетические энергии этих тел.

Решение:

Кинетическая энергия тела в случае плоского движения . Учитывая связь между линейной скоростью движения центра масс и угловой скоростью , получим , где радиус катящегося тела. Пусть радиус обруча, тогда .

Следовательно, .

Пусть радиус основания цилиндра, тогда .

Следовательно, .

Ответ: , .

4.4. Работа сил при вращательном движении

Пусть сила , вызывающая вращение тела вокруг точки , приложена в точке В, находящейся на расстоянии от точки (рис. 4.4.1).

Обозначим угол между вектором силы и радиус-вектором , проведенном из точки вращения в точку приложения силы. При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения силы совершает перемещение . Элементарная работа силы равна: , где проекция силы на направление перемещения. Учитывая, что , получим .

Кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой вращения O называется плечом силы l. Из рис. 4.4.1 видно, что . Таким образом,

. (4.4.1)

Физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведенному из точки вращения в точку приложения силы, на силу , называется моментом силы относительно неподвижной точки O:

.

Момент силы относительно неподвижной точки – псевдовектор. Его направление совпадает с направлением поступательного движения острия буравчика при вращении рукоятки от к (рис. 4.4.2). Модуль момента силы равен . Учитывая это, можно записать .

Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

. (4.4.2)

Примечание. Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то вводят понятие момента силы относительно оси. Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки O на данной оси (рис. 4.4.3).

Отметим, что значение М_z не зависит от выбора положения точки O на оси вращения. Если ось вращения совпадает с направлением вектора , то момент силы представляют в виде вектора, совпадающего с осью: .

Дата добавления: 2014-01-20