Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

Одной из центральных задач эконометрики является прогнозирование значений зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных. Различают точечное и интервальное прогнозирование. При этом возможно предсказать условное математическое ожидание зависимой переменной (т.е. ср. значение), либо прогнозировать некоторое конкретное значение (т.е. индивидуальное).

Пусть имеется уравнение регрессии . Точечной оценкой М(У│Х=х_р) = _р = . Так как и имеют нормальное распределение (в силу нормальности ), то _р является случайной величиной с нормальным распределением.

,

М(_р) = М() =

D(_р) = D() + D() + x_p²D() + 2cov(,)x_p = +

+ x_p²-2x_p= (+ x_p² - 2 x_p)│=

= (+ - 2 x_p+ x_p²) = .

- стандартная ошибка положения линии регрессии. Так как она минимальна при х_р = , то наилучший прогноз находится в центре области наблюдений и ухудшается по мере удаления от центра.

Случайная величина имеет распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы. Поэтому, задавая = Р(<t_кр(, n-2)), можно построить доверительный интервал для М(У│Х = х_р), то есть положения линии регрессии (рис. 1.): ()

Рис. 1. Доверительные интервалы положения линии регрессии – сплошная линия и индивидуального значения – пунктирная линия.

Фактические значения у варьируются около среднего значения _р. Индивидуальные значения у могут отклоняться от _р на величину случайной ошибки . Пусть y_i - некоторое возможное значение у при х_р. Если рассматривать y_i как случайную величину У, а _р – как случайную величину У_р, то можно отметить, что:

Y ~ N(, Y_p ~ N().

Y и Y_p независимы и, следовательно, U = Y - Y_p ~ N с параметрами

M(U) = 0; D(U) = .

Значит случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы. Аналогично строится доверительный интервал индивидуального значения.

Пример. Стандартная ошибкасреднего расчетного значения

.

При , . При , . Следовательно, и, т.к. , то и

.

Стандартная ошибка индивидуального расчетного значения

,

и .

Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии. Для сравнения используются величины отклонений, выраженные в процентах к фактическим значениям. Поскольку может быть как положительной, так и отрицательной величиной, ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю.

Для того чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, находят среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую.

.

Допустимый предел 8 – 10 %, при котором подбор модели к исходным данным считается хорошим.

Возможно и другое определение средней ошибки аппроксимации:

.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации для нашего примера.

№	y
		31,053	1,053	0,035
		67,895	2,105	0,030
		141,579	8,421	0,056
		104,737	4,737	0,047
		178,421	8,421	0,049
		104,737	4,737	0,047
		141,579	8,421	0,056
	0,322

Окончательно получим: , что говорит о хорошем качестве уравнения.

Выборочный коэффициент вариации определяется отношением выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней, выраженным в процентах:

и .

Коэффициент вариации – безразмерная величина, удобная для сравнения величин рассеивания двух и более выборок, имеющих разные размерности. Совокупность данных считается однородной и пригодной для использования МНК и вероятностных методов оценок статистических гипотез, если значение коэффициента вариации не превосходит 35 %.

Для нашего примера:

,

.

Пример. Фирма провела рекламную компанию. Через 10 недель фирма решила проанализировать эффективность этого вида рекламы, сопоставив недельные объемы продаж (у, тыс. руб.) с расходами на рекламу (х, тыс. руб.).

Полагая, что между переменными х и у имеет место линейная зависимость, определить выборочное уравнение регрессии.

х
у

Решение см. в Excel.

Дата добавления: 2014-01-20