П.1. Достаточные и необходимые условия сходимости ряда Фурье

Достаточные и необходимые условия сходимости ряда Фурье

Неполные рады Фурье.

Ряды Фурье по тригонометрической системе функций.

Лекция 15

Библиографический список

1. Андреев Г. Н., Новиков В. Ю., Схиртладзе А. Г. Проектирование технологической оснастки машиностроительного производства: Учеб. Пособие для машиностроит. Спец. Вузов/ Под ред. Ю. М. Соломенцева. – 2-е изд., испр. –М.: Высш. Шк., 1999 – 415с.

2. Ансеров М. А. Приспособления для металлорежущих станков. Изд-е 4-е, испр. и доп. Л., «Машиностроение» (Ленингр. отд-ние), 1975г., 656с.

3. Белоусов А. П. Проектирование станочных приспособлений: Учебное пособие для учащихся техникумов. – 3-е изд. перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1980. – 240 с.

4. Горошкин А.К. Приспособления для металлорежущих станков: Справочник – 7-е изд., перераб. И доп. – М.: Машиностроение, 1979. – 303 с

.

5. Коваленко А. В., Подшивалов Р. Н. Станочные приспособления. – М.: Машиностроение, 1986, 152 с.

6. Косов Н. П., Исаев А. Н., Схиртладзе А. Г. Технологическая оснастка: вопросы и ответы: Учебное пособие для вузов. – М.: Машиностроение, 2005. 304 с.

7. Свешников В. К. Станочные гидроприводы: Справочник. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1995. – 448 с.

8. Станочные приспособления: Справочник. В 2-х т./ Ред. совет: Б. Н. Вардашкин (пред.) и др. – М.: Машиностроение 1984. – Т.1 /Под ред. Б. Н. Вардашкина, А. А.Шатилова. 1984. 592 с.

9. Станочные приспособления: Справочник. В 2-х т./ Ред. совет: Б. Н. Вардашкин (пред.) и др. – М.: Машиностроение 1984. – Т.2 /Под ред. Б. Н. Вардашкина, В. В. Данилевского. 1984. 656 с.

10. Технология машиностроения: В 2 т. Т.2. Производство машин: Учебник для вузов / В. М. Бурцев, А. С. Васильев, О. М. Деев и др.; Под ред. Г. Н. Мельникова. – 2-е изд., стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. – 640 с.

11. Холодкова А. Г. Технологическая оснастка: учебник для студ. Высш. Учеб. Заведений / А. Г. Холодкова. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. -386 с.

12. Черпаков Б. И. Технологическая оснастка: Учебник для учреждений сред. Проф. Образования/ Борис Ильич Черпаков. – М.: Издательский центр «Академия»,2003. – 288 с.

Теорема 1. (признак равномерной сходимости ряда Фурье). Пусть сходится ряд. Тогда ряд Фурье

сходится равномерно на всей оси OX.

Доказательство. Имеем:

Но ряд сходится по условию теоремы. В силу признака Вейерштрасса равномерной сходимости ряд Фурье сходится равномерно на всей оси.

▲

Определение. Функция называется кусочно-монотонной на отрезке, если можно разбить отрезок, на конечное число промежутков точками так, что на каждом из отрезков функция монотонна.

Пример. Функция является кусочно-монотонной на всей оси.

Теорема 2 (Дирихле о поточечной сходимости ряда Фурье) (без доказательства).

Пусть функция имеет период. Пусть также функция кусочно-монотонна и ограничена в. Тогда ряд Фурье функции

(здесь,)

сходится к

1) функции в точках непрерывности функции;

2) величине в точках разрыва функции.

Замечание. Можно доказать, что функции, кусочно-монотонные и ограниченные на отрезке, могут иметь только конечное число разрывов и только первого рода на этом множестве.

Следствие. Пусть функция имеет период. Пусть функция непрерывна на отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек разрыва первого рода (то есть скачков).

Тогда ряд Фурье функции сходится к

1) функции в точках непрерывности функции;

2) величине в точках разрыва функции.

Теорема 3 (о равномерной сходимости ряда Фурье) (без доказательства).

Пусть функция имеет период, непрерывна в. Тогда ряд Фурье для функции сходится к, причем равномерно (то есть).

▲

Замечание.

Предположим, функция определена либо только в промежутке, либо, если и определена вне этого промежутка, то не является периодической.

Введем вспомогательную функцию так, что в промежутке,, для всех остальных значений доопределяем функцию периодическим образом. К построенной таким образом - периодической функции (называемой периодическим продолжением функции на всю ось) можно применять теоремы разложения. При этом, когда речь идет о точке лежащей строго внутри интервала, при проверке условий теорем мы фактически имеем дело с заданной функцией то есть коэффициенты Фурье можем вычислять по полученным ранее формулам, не используя функцию.

Предположим, функция непрерывна всюду на отрезке но не имеет периода, и В этом случае сумма ряда Фурье при равна. При этом, так как члены тригонометрического ряда имеют период, то и сумма этого ряда имеет период и эта сумма не совпадает с функцией

Дата добавления: 2014-01-20