П.4. Комплексная форма записи рядов Фурье

П.3. Ряды Фурье для функций с произвольным периодом

П.2. Неполные рады Фурье.

Ряды Фурье для функций с произвольным периодом

Определение. Если тригонометрический ряд Фурье таков, что либо все, либо все, то этот ряд Фурье называется неполным рядом Фурье.

Рассмотрим случаи, когда функция раскладывается в неполный ряд Фурье.

1. Пусть функция имеет период, функция является четной (то есть. Очевидно, что в этом случае функция будет нечетной, и

(

Таким образом, для четной функции ряд Фурье будет неполным и будет иметь вид

где

Получено разложение функции в ряд Фурье по ортогональной на отрезке системе функций

2. Пусть функция имеет период, функция является нечетной (то есть. Очевидно, что в этом случае функция будет нечетной, и

(

Таким образом, для четной функции ряд Фурье будет неполным и будет иметь вид

где

Получено разложение функции в ряд Фурье по ортогональной на отрезке системе функций

Пусть требуется разложить функцию,

определенную на отрезке, в неполный ряд, состоящий из синусов.

Для этого продолжим нечетным образом функцию на отрезок (см. рис.), получим функцию, при этом функция может оказаться разрывной. Функция называется нечетным продолжением функции на отрезок

Затем разложим функцию в ряд Фурье, получим ряд только

из синусов. На отрезке этот ряд сходится к функции.

Аналогично, если необходимо разложить функцию, определенную на отрезке, в ряд по косинусам, то должна быть четной (см. рис.).

Разложим функцию в ряд Фурье, получим ряд только

из косинусов. На отрезке этот ряд сходится к функции.

Замечания.

1. Функция, заданная на отрезке, может быть разложена и в ряд синусов, и в ряд косинусов, в зависимости от того, как эта функция продолжена на отрезок (четным или нечетным образом).

2. Функция, заданная на отрезке, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье бесконечным числом способов, так как существует бесконечное число способов доопределить функцию на отрезок.

Пусть функция имеет период. Будем искать разложение функции в ряд Фурье на отрезке.

Сделаем замену переменных,.

Введем вспомогательную функцию.

Докажем, что функция имеет период:

=(так как имеет период) =

=.

Разложим периодическую функцию в ряд Фурье на отрезке:

Делаем обратную замену переменных:

получим, что ряд Фурье для функции имеет вид:

где

(

(

Все теоремы, сформулированные для рядов Фурье функций с периодом, также справедливы и для функций с произвольным периодом.

Пусть функция разложена в ряд Фурье на отрезке:

где,.

Используем формулы Эйлера

,

следовательно,

где

.

Таким образом, ряд Фурье можно записать в комплексной форме

где.,

,

Для функций с периодом имеем:

  где    

Дата добавления: 2014-01-20