Метод случайного поиска

Метод сканирования

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Практикум

1. В табл. 21.3 приведены значения входных и выходных параметров некоторого процесса. В качестве эмпирической формулы выбрать полином второй степени и составить программу получения его коэффициентов. Номер варианта определяет преподаватель.

2. Определить коэффициенты математической модели процесса в виде полинома второй степени с помощью приложений Mathcad и Excel. Результаты сравнить между собой.

Таблица 25.3

№	Переменные	Значения переменных
	x	2,1	2,7	3,3	3,8	4,2	4,9	5,6	6,1	6,8
y	1,2	1,6	2,1	2,4	2,5	2,8	3,4	3,8	4,0
	x	0,2	0,7	1,1	1,6	2,2	2,3	3,0	3,9	4,3
y	6,3	10,6	14,2	15,7	15,9	15,5	12,5	5,0	0,2
	x	-5,0	-4,2	-3,5	-2,8	-1,9	-1,2	-0,3	0,8	1,3
y	8,8	4,3	1,8	-0,2	-0,8	-0,5	1,8	7,6	12,2
	x	0,0	0,6	1,3	1,8	2,7	3,1	3,9	4,2	5,1
y	10,2	8,2	6,0	5,1	1,5	0,8	-1,6	-2,8	-5,5
	x	-0,4	-3,5	-2,4	-2,0	-0,8	0,5	1,4	2,5	3,8
y	-1,6	-1,4	-1,1	-0,9	-0,7	-0,5	-0,4	-0,2	0,1
	x	3,1	3,7	4,3	4,8	5,2	5,9	6,6	7,1	7,8
y	1,2	1,6	2,1	2,4	2,5	2,8	3,4	3,8	4,0
	x	0,2	0,7	1,1	1,6	2,2	2,3	3,0	3,9	4,7
y	6,3	9,6	13,2	14,7	14,9	14,5	11,5	4,0	2,1
	x	-3,0	-2,2	-1,5	-1,1	-0,9	-0,2	0,3	0,8	1,3
y	8,8	4,3	1,8	-0,2	-0,8	-0,5	1,8	7,6	12,2
	x	0,0	0,6	1,3	1,8	2,7	3,1	3,9	4,2	5,1
y	12,2	9,2	8,0	7,1	0,5	0,8	-2,6	-3,8	-6,5
	x	-5,4	-3,5	-2,4	-2,0	-0,8	0,5	1,4	2,5	3,4
y	-1,6	-1,1	-0,8	-0,7	0,7	1,4	2,1	3,2	3,9
	x	4,1	5,7	6,3	6,8	7,2	7,9	8,6	9,1	9,8
y	1,2	1,6	2,1	2,4	2,5	2,8	3,4	3,8	4,0
	x	0,2	0,7	1,1	1,6	2,2	2,3	3,0	3,9	4,3
y	7,3	11,6	16,2	17,7	17,9	15,5	12,5	5,0	0,2
	x	-3,0	-2,2	-1,5	-0,8	0,2	0,3	1,3	1,8	2,3
y	8,8	4,3	1,8	-0,2	-0,8	-0,5	1,8	7,6	12,2
	x	0,0	0,6	1,3	1,8	2,7	3,1	3,9	4,2	5,1
y	20,2	28,2	26,0	25,1	21,5	20,8	11,6	12,8	15,5
	x	0,4	1,5	2,4	2,8	3,1	4,5	5,4	5,5	6,8
y	-1,6	-1,3	-1,0	-0,8	-0,7	-0,4	-0,2	-0,2	0,3

Задачу оптимизации в общем виде можно сформулировать так: определить значения входных параметров x₁, x₂,…, x_n некоторого процесса, которые обеспечивают максимум или минимум целевой функции f(x₁,x₂,…,x_n), характеризующей показатели процесса, и удовлетворяют ограничениям, если они присутствуют.

Рассмотрим использование метода сканирования на примере для оптимизации процесса, имеющего два входных параметра x₁, x₂ и выходной параметр – y. Пусть требуется определить оптимальные значения x ₁ и x ₂, которые обеспечивали бы минимум целевой функции

y=f(x₁,x₂) (26.1)

и удовлетворяли ограничениям:

a1<=x₁<=b1, a2<=x₂<=b2 (26.2)

g(x₁,x₂)>0 (26.3)

(последнее ограничение может отсутствовать).

Метод сканирования заключается в определении значений x₁ из интервала [a1, b1], начиная с a1 и до b1 с шагом h1 и определении значений x₂ из интервала [a2, b2], начиная с a2 и до b2 с шагом h2. Для всех значений x₁ и x₂, удовлетворяющих ограничениям g(x₁,x₂)>0, нужно вычислить значения целевой функции y=f(x₁,x₂).

Те значения x₁ и x₂, для которых значение целевой функции минимально, являются искомым решением.

Алгоритм метода сканирования

1. Ввод исходных данных: a1, b1, h1,a2, b2, h2 инекоторого числа A, заведомо большего, чем значение целевой функции.

2. Вычисление yopt=A, x1opt=a1, x2opt=a2.

3. x₁=a1

4. x₂=a2

5. Проверка ограничения: если ограничение не выполняется, то есть g(x₁,x₂)<=0, то переход к пункту 8, иначе – переход к следующему пункту.

6. Вычисление целевой функции y=f(x₁,x₂).

7. Если y<yopt, то yopt=y, x1opt=x₁, x2opt=x₂, иначе – переход к следующему пункту.

8. Вычисление x₂=x₂+h2.

9. Если x₂<=b2, то переход к пункту 5, иначе – переход к следующему пункту.

10. Вычисление x₁=x₁+h1.

11. Если x₁<=b1, то переход к пункту 4, иначе – переход к следующему пункту.

12. Вывод оптимальных значений x1opt, x2opt и минимального значения целевой функции yopt.

Рассмотрим применение метода случайного поиска для оптимизации процесса на примере, приведенном выше. Идея метода основана на многократном (N раз) вычислении целевой функции y для значений x₁ и x₂, выбранных из отрезков [a1, b1] и [a2, b2] случайным образом. Те значения x₁ и x₂, при которых целевая функция минимальна и удовлетворяются ограничения (26.3) и являются решением.

Для определения случайного числа x на отрезке [a, b] можно использовать встроенную функцию Rnd. Тогда x=(b-a)×Rnd(1)+a.

Алгоритм метода случайного поиска

1. Ввод исходных данных: a1, b1, a2, b2, количества опытов N ичисла A, заведомо большего, чем значение целевой функции.

2. Вычисление yopt=A, x1opt=a1, x2opt=a2.

3. i=1.

4. Вычисление x₁=(b1-a1)×Rnd(1)+a1, x₂=(b2-a2)×Rnd(1)+a2.

5. Проверка ограничения: если g(x₁,x₂)<=0, то переход к пункту 8, иначе – переход к следующему пункту.

6. Вычисление целевой функции y=f(x₁,x₂).

7. Если y <yopt, то yopt=y, x1opt=x₁, x2opt=x₂, иначе – переход к следующему пункту.

8. i=i+1

9. Если i<=N, то переход к 4, иначе – переход к 10.

10. Вывод оптимальных значений x1opt, x2opt и минимального значения целевой функции yopt.

Дата добавления: 2014-01-20