Функциональные ряды. Степенные ряды

Функциональным рядом называется выражение

,

члены которого являются функциями от .

Придавая числовое значение , мы получаем числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Множество тех значений, , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от . Обозначим се через .

Функциональный ряд сходится в точке x₀, если сходится числовой ряд.

Функциональный ряд сходится на интервале J, если он сходится в каждой точке этого интервала.

На интервале сходимости J сумма ряда есть некоторая функция S(x).

Например, используя известные признаки сходимости числовых рядов, можно найти интервалы сходимости функциональных рядов:

1) .

2) ; сходится для

3) – ряд Дирихле: при сходится, при расходится.

4) расходится для .

Специальный класс функциональных рядов составляют гак называемые степенные ряды вида

=,

где -- последовательность действительных чисел, называют коэффициентами ряда.

Выясним, какой вид имеет "область сходимости" степенного ряда, тоесть множество тех значений переменной, для которых ряд сходятся.

Дата добавления: 2014-01-11