Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве. Углы между прямыми

Пусть две прямые a и b в пространстве, в некоторой аффинной системе координат заданные каноническими уравнениями

a: , (1) b: . (2)

Эти прямые a и b задаются своими направляющими векторами s ₁ = ( m ₁, k ₁, l ₁), s ₂ = ( m ₂, k ₂, l ₂) и точками M ₁(x ₁, y ₁, z ₁), M ₂(x ₁, y ₁, z ₁) которые принадлежат этим прямым. Рас-сотрим вектор .

1. Прямые a и b скрещиваются тогда и только тогда, когда векторы , s ₁, s ₂ некомпланарны. Последнее равносильно тому, что det A не равен нулю, т.е. rang A = 3.

2. Прямые a и b пересекаются тогда и только тогда, когда векторы , s ₁, s ₂ компланарны, а векторы s ₁ и s ₂ неколлинеарны. Последнее равносильно тому, что det A =0, а и вторая и третья строки матрицы A непропорциональны, т.е. rang A = 2, а ранг матрицы, составленной из двух последних строк равен 2.

3. Прямые a и b параллельны тогда и только тогда, когда векторы s ₁ и s ₂ коллинеарны, а векторы и s ₁ неколлинеарны. Последнее равносильно тому, что в матрице А вторая и третья строки пропорциональны, т.е. rang A = 2, а ранг матрицы, составленной из двух последних строк равен 1.

4. Прямые a и b совпадают тогда и только тогда, когда векторы , s ₁ и s ₂ попарно коллинеарны. Последнее равносильно тому, что все строки матрицы А попарно пропорциональны, т.е. rang A = 1.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Дата добавления: 2014-01-20