Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямые a и b скрещиваются.

.

.

Пусть в пространстве прямя a, в некоторой аффинной системе координат задана параметрическими уравнениями:

(1)

плоскость a задана общим уравнением:

a: Ax + By + Cz + D = 0. (2)

Исследуем взаимное расположение прямой и плоскости. Для этого подставим из уравнений (1) в уравнения (2) и получим

A(x ₀ + mt) + B (y ₀ + kt) + C (z ₀ + lt) + D = 0,

(Am + Bk + Cl) t + A x ₀ + By ₀ + Cz ₀ + D = 0. (3)

Отсюда и из теоремы о линейном уравнении получаем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть дана прямая a и плоскость a, заданные соответственно уравнениями (1) и (2). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) прямая и плоскость пересекаются тогда и только тогда, когда

Am + Bk + Cl ¹ 0; (4)

2) прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда

Am + Bk + Cl = 0, A x ₀ + By ₀ + Cz ₀ + D ¹ 0; (5)

1) прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда

Am + Bk + Cl = 0, A x ₀ + By ₀ + Cz ₀ + D = 0. (6)

Пусть в пространстве прямя a, в некоторой прямоугольной системе координат задана каноническими уравнениями:

а :

, (7)

а плоскость a задана общим уравнением:

a: Ax + By + Cz + D = 0. (8)

Определение 1. Углом, между прямой а и плоскостью a, которые пересекаются, называется угол между прямой а и ее проекцией на плоскость a. Если прямая а и плоскость a параллельны, то угол считается равным нулю.

Рассмотрим угол b между направляющим вектором s = ( m, k, l) - прямой а и нормальным вектором n = ( A, B, C) плоскости a. Тогда угол j между прямой а и плоскостью a равен j=p ¤ 2 - b. Тогда из формулы для скалярного произведения векторов находим, что

sin j = cos b =.

Отсюда находим, что

. (9)

Прямая а и плоскость a перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор s = ( m, k, l) прямой a коллиниарен нормальному вектору n = ( A, B, C) плоскости a. Последнее равносильно условию. Получаем условие перпендикулярности прямой и плоскости

Am + Bk + Cl = 0. (10)

Дата добавления: 2014-01-20