КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Градиент функции и его применение
Градиент – характеристика, показывающая направление и величину максимальной скорости изменения функции в данной точке. Пусть дифференцируемая функция двух переменных. Градиентом функции называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в точке и обозначается , т.е. или Теорема 7.1. Градиент функции в точке характеризует направление максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке, причем наибольшая скорость возрастанию функции в точке равна Итак, градиент – вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции и равный по величине мгновенной скорости возрастания функции. Пример 7.6. Найти градиент функции . Решение. Вычислим частные производные Подставив в формулу градиента, Пример 7. 7. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке . Решение. Найдем частные производные и их значения в точке М: Градиент функции в точке есть вектор Наибольшая скорость возрастания функции равна
3. Частные производные второго порядка для функции двух переменных Пусть дифференцируемая функция двух переменных. Следовательно, для нее можно найти производные и Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь они могут быть дифференцируемыми функциями своих переменных и также могут иметь частные производные по каждой их этих переменных. Частными производными второго порядка от функции называются производные от частных производных первого порядка. Рассмотрим частную производную . От этой производной возьмем производную по переменной x и по переменной y. Таким образом, и Аналогично получаем и Следовательно, частных производных второго порядка от функциибудет четыре: Иногда применяют обозначения:
Частные производные называют смешанными производными. Пример.. Найти частные производные второго порядка функции Решение.
В примере оказалось, чтосмешанные частные производные равны, то есть Приводимая ниже теорема Шварца (Герман Шварц (1843-1921-немецкий математик), утверждает, что не простое совпадение. Теорема (Щварца). Если частные производные порядка непрерывны, то смешанные производные того же порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. В частности, для имеем Согласно этой теореме смешанные производные можно вычислять в любом порядке и нет необходимости находить обе смешанные производные. Частные производные второго порядка используются при нахождении экстремальных значений функции двух переменных.
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1913; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |