Метод наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов рассматривается функционал квадратичной ошибки, который в случае растяжения-сжатия стержня записывается так:

В методе наименьших квадратов рассматривается функционал квадратичной ошибки, который в случае растяжения-сжатия стержня записывается так:

(2.4.1)

Внося аппроксимирующую функцию (2.2.1) в (2.4.1), приходим к соотношению

(2.4.2)

Неизвестные параметры u_i находятся из условия минимума функционала квадратичной ошибки

(2.4.3)

Внося полученные соотношения для u_i в соответствующую аппроксимирующую функцию, получаем выражение для перемещения. Выражение для усилия получаем на основе равенства (4). В случае одинаковых аппроксимирующих функций решение методом наименьших квадратов полностью совпадает с решением методом Бубнова-Галеркина.

Запишем функционал квадратичной ошибки для варианта А: внесем аппроксимирующую функцию (2.2.5) в выражение для функционала (2.4.2)

(2.4.4)

Первый интеграл

(2.4.5)

Второй интеграл равен нулю в силу ортогональности (2.2.8). Третий интеграл был взят в (2.2.9)

(2.4.6)

Таким образом, (2.4.4) приобретает вид:

(2.4.7)

Запишем условие минимума функционала

(2.4.8)

откуда следует

что полностью совпадает с решением (2.2.11), полученным в методе Бубнова-Галеркина.

Запишем функционал квадратичной ошибки для варианта В: внесем аппроксимирующую функцию (2.2.14) в выражение для функционала (2.4.2)

(2.4.9)

Первый интеграл

(2.4.10)

Второй интеграл равен нулю в силу ортогональности (2.2.17). Третий интеграл был взят в (2.2.28)

(2.4.11)

Таким образом, (2.4.9) приобретает вид:

(2.4.12)

Запишем условие минимума функционала

(2.4.13)

откуда следует

что полностью совпадает с решением (2.2.20), полученным в методе Бубнова-Галеркина

Запишем функционал квадратичной ошибки для варианта С: внесем аппроксимирующую функцию (2.2.23) в выражение для функционала (2.4.2)

(2.4.14)

Первый интеграл

(2.4.15)

Второй интеграл равен нулю в силу ортогональности (2.2.26). Третий интеграл был взят в (2.2.27)

(2.4.16)

Таким образом, (2.4.9) приобретает вид:

(2.4.17)

Запишем условие минимума функционала

(2.4.18)

откуда следует

что полностью совпадает с решением (2.2.29), полученным в методе Бубнова-Галеркина

Дата добавления: 2014-01-20