Одноканальная СМО с неограниченной очередью

ПРИМЕРЫ.

Врач, обслуживающий пациентов; будка с телефоном-автоматом.

ЗАДАЧА. Построить модель одноканальной СМО с очередью.

ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ. Очередь не ограничена по времени ожидания и по длине.

ДАНО.

n=1 – число каналов

λ – интенсивность потока заявок

μ – интенсивность потока обслуживания.

НАЙТИ.

Р_i– финальные вероятности системы.

L_сист – среднее число заявок в системе

W_сист – среднее время пребывания заявки в системе

L_оч – среднее число заявок в очереди

W_оч – среднее время пребывания заявки в очереди.

P_зан – вероятность того, что канал занят.

РЕШЕНИЕ.

S₀ – канал свободен;

S₁ – канал занят, очереди нет (в системе одна заявка);

S₂ – канал занят, одна заявка в очереди;

…

S_k – канал занят, k-1 заявка стоит в очереди;

…

Построим граф состояний:

λ λ λ λ λ λ λ λ

μ μ μ μ μ μ μ μ

P₀=(1+λ/μ+ (λ/μ)²+(λ/μ)³+…(λ/μ)^k+…)^-1=(1+ ρ + ρ ²+…+ ρ ^k+…)^-1=1/(1- ρ) при ρ <1

При ρ ≥1 ряд расходится, т.е. предельные вероятности не существуют. Это говорит о том, что очередь неограниченно растёт, т.е. система перегружена.

При ρ =1 СМО справляется только с регулярным потоком заявок с временем обслуживания равным интервалу между заявками.

P₀=1- ρ

P₁= ρ (1- ρ)

P₂= ρ ²(1- ρ)

…

Среднее число заявок в системе = математическому ожиданию числа заявок:

L_сист=(0*Р₀+1*Р₁+2*Р₂+…+k*P_k+…

По формуле Литтла:

Среднее число заявок в очереди = среднему числу заявок в системе – среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием в одноканальной системе может быть либо 0, либо 1. Вероятность того, что канал свободен =Р₀. Вероятность того, что канал занят P_зан =1-Р₀=ρ. Эта вероятность и есть среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.

L_оч= L_сист–ρ=

Дата добавления: 2014-01-20